Approximation rationnelle de $\zeta(2)$

Sylvain · April 2017

Bonjour,

Je suis tombé par hasard (en voulant savoir quelle fraction du dernier Bernard Werber j'avais lue en interrompant provisoirement ma lecture à la page 198 sur 307) sur ce qui me semble une bonne approximation rationnelle de $ \zeta(2) $, à savoir 505/307. Y en a-t-il une meilleure dont le dénominateur est inférieur à 1000 ?

Merci d'avance.

Fin de partie · April 2017

Sylvain:

Tu peux répondre facilement à cette question je pense, au moins empiriquement.
Jamais entendu parler des fractions continues?

Fin de partie · April 2017

Tu as $\dfrac{1640}{997}$ me semble-t-il.

Sylvain · April 2017

Effectivement. Y a-t-il moyen de savoir au bout de combien d'étages il faut s'arrêter sans faire tout les calculs ?

Fin de partie · April 2017

C'est la 8 7 ème réduite je crois. Les réduites alternent entre une valeur qui est supérieure au nombre considéré et la réduite suivante qui lui est inférieure (et réciproquement).

Sylvain · April 2017

Oui, mais a-t-on un estimation de l'erreur commise en considérant la $ n $-ième réduite en fonction de $ n $?

Fin de partie · April 2017

Oui, "bien sûr":

https://fr.wikipedia.org/wiki/Fraction_continue#Encadrement_et_convergence

Ou, si tu préfères, théorème 4.3: http://math.unice.fr/~walter/L1_Arith/cours2.pdf

Sylvain · April 2017

Merci, je vais lire ça.

jean lismonde · May 2017

bonjour

d'une façon générale les nombres de Bernoulli (qui sont rationnels alternés de signe) pris en valeur absolue
fournissent d'excellentes approximations rationnelles aux puissances paires du nombre pi

par exemple $\pi^{34} = 80.001.047.150.456.339,5529425.....$ aura pour approximation rationnelle :

$$\frac{8(33!)}{(43691)(131071)(151628697551)} = 80.001.047.150.456.334,755912745...$$

(les 16 premiers chiffres sont exacts)

cordialement

Mehdi Pascal · May 2017

Salut,

il y a un truc qu'on oublie souvent,
soit x=a,d1d2d3..[]..dn
où 0<=di<=9
alors on a:
a,d1d1d1..[]..=a,d1=a+d1/9
a,d1d2=a+d1d2/99
a,d1d2d3=a+d1d2d3/999
..[]..
a,d1d2..[]..dn=a+(d1d2..[]..d3)/10^n-1
par exemple:
zéta(2) est proche de 1+644 934 066/999 999 999=1,644934066
c'est vrai que dans ce dénominateur est >1000, mais il est possible de trouver un séquence qui peut se réduit à un dénominateur < 1000, sinon l'exemple de findepartie est bon.

Fin de partie · May 2017

Je n'ai rien compris. :-D

On peut trouver une approximation rationnelle avec un dénominateur de 1.

1 est une valeur approchée de $\zeta(2)$ B-)-

A une précision donnée (nombre de chiffres exacts après la virgule) on ne pourra pas avoir un dénominateur plus petit qu'une certaine valeur qui est le dénominateur d'une réduite du développement en fraction continue de $\zeta(2)$ (ou de tout autre nombre irrationnel)

Mehdi Pascal · May 2017

Z(2)=1,644934066...
Donc une approximation est sous forme de 1+(A/B), avec par exemple,
A=64493 "Les 5 premiers nombres après la virgule"
B=99999=10^5-1
comme le pgcd(A,B)=41, alors A/B=64493/99999=1573/2439
Donc notre approximation est 1+1573/2439=4012/2439
Là aussi ce n'est pas la bonne réponse, car il faut que B<1000, mais il est possible que si j'augmente le nombres A, en prenons un nombres important des décimaux, B aussi serra tres grand, mais peut être A/B dans ça forme irréductible aura un dénominateur <1000 .
alors pour la règle sur laquelle je me suis basé est très simple, je vais me suffire de vous donner qlq exemple:
2017/9999=0,201720172017...
12345/99999=0,123451234512345...
Je suis navré si je ne pratique pas latex, mais j’espère qu'il soit lisible.

Fin de partie · May 2017

Si tu veux une précision de 6 chiffres après la virgule exacts une fraction irréductible qui approche $\zeta(2)$ avec au moins cette précision (au moins 6 chiffres exacts après la virgule) va avoir un dénominateur plus grand que 997 sauf erreur.

Mehdi Pascal · May 2017

non pas forcément, c'est un problème indécidable, car je peux prend par exemple les 100 premiers décimales de Z(2) comme un numérateur et 10^100-1 comme dénominateur, et que la fraction soit réductible d'une manière que son dénominateur soit <999 dans sa forme irréductible.

Approximation rationnelle de $\zeta(2)$

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