l'énigme de l'échelle

Bonjour les matheux !
J'ai un ami qui m'a proposé cette énigme :

Il y a une échelle (ou un escalier) dont on doit déterminer le nombre de ses échelons. Les données sont :
- Si on monte cette échelle par 2, il reste à la fin 1 échelon.
- Si on monte cette échelle par 3, il reste à la fin 2 échelons.
- Si on monte cette échelle par 4, il reste à la fin 3 échelons.
- Si on monte cette échelle par 5, il reste à la fin 4 échelons.
- Si on monte cette échelle par 6, il reste à la fin 5 échelons.
- Si on monte cette échelle par 7, il ne reste aucun échelon.

Pour répondre à cette énigme j'ai transformé les données comme suit :
soit n le nombre des échelons, alors on a :
n = 2a + 1
n = 3b + 2
n = 4c + 3
n = 5d + 4
n = 6e + 5
n = 7f
avec : a, b, c, d, e, f et n sont tous des entiers naturels.

Mais le problème est qu'on a plusieurs inconnues. Donc ces équations ne m'ont pas beaucoup aidé.

J'ai pensé alors à tester les multiples de 7 qui sont impairs est qui ne sont pas divisible par 3. Et c'est comme ça que j'ai trouvé la solution : 119 échelons.

Mon problème est : et si ce nombre était aussi grand, comment j'aurais fait pour le trouver sans passer par des tests similaires, juste en utilisant quelques équations ?