Écart maximal entre premiers

Sylvain
Sylvain
dans Arithmétique
Bonjour
J'ai posé la question sur MSE mais n'ai pas reçu de réponse alors je tente ma chance ici.

Y a-t-il une bonne raison arithmético-analytique de penser que $\displaystyle G(x) : =\sup_{n<\pi(x)}(p_{n+1}-p_{n})\asymp \int_{2}^{x}\dfrac{dt}{\pi(t)} $ ?
Des choses genre sommation partielle, inégalité de la moyenne...
J'obtiens juste $\displaystyle \int_{2}^{x}\dfrac{dt}{\pi(t)}<\big(1+o(1)\big)G(x)\log x $.

Merci d'avance.

Réponses

  • Sylvain
    Sylvain
    Bonjour Alain
    Je vois que tu as corrigé le titre. C'est bien l'écart qui doit être maximal, et non les premiers eux-mêmes (anglais maximal prime gap).
    Cordialement.

    [D'accord, alors on va écrire le titre dans le bon ordre. Cela te convient-il ? AD]
  • Shah d'Ock
    Shah d'Ock
    Non car il n'y a pas de nombre premier entre $n!+2$ et $n!+n$. Or si mes calculs sont exacts, $\int_2^{n!}\frac{dt}{\pi(t)}=O(log(n))$.
  • Sylvain
    Sylvain
    @AD : parfait ! :-)
    @Shah d'Ock : a priori on aurait plutôt $ \int_{2}^{x}\dfrac{dt}{\pi(t)}=O(log^{2}(x)) $ d'après les inégalités de Tchebychev.
  • Shah d'Ock
    Shah d'Ock
    Oui il s'agissait d'une grossière erreur de calcul de ma part.
  • Sylvain
    Sylvain
    Je remonte ce sujet, au cas où noix de totos (par exemple) serait dans le coin.
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