Écart maximal entre premiers
dans Arithmétique
Bonjour
J'ai posé la question sur MSE mais n'ai pas reçu de réponse alors je tente ma chance ici.
Y a-t-il une bonne raison arithmético-analytique de penser que $\displaystyle G(x) : =\sup_{n<\pi(x)}(p_{n+1}-p_{n})\asymp \int_{2}^{x}\dfrac{dt}{\pi(t)} $ ?
Des choses genre sommation partielle, inégalité de la moyenne...
J'obtiens juste $\displaystyle \int_{2}^{x}\dfrac{dt}{\pi(t)}<\big(1+o(1)\big)G(x)\log x $.
Merci d'avance.
J'ai posé la question sur MSE mais n'ai pas reçu de réponse alors je tente ma chance ici.
Y a-t-il une bonne raison arithmético-analytique de penser que $\displaystyle G(x) : =\sup_{n<\pi(x)}(p_{n+1}-p_{n})\asymp \int_{2}^{x}\dfrac{dt}{\pi(t)} $ ?
Des choses genre sommation partielle, inégalité de la moyenne...
J'obtiens juste $\displaystyle \int_{2}^{x}\dfrac{dt}{\pi(t)}<\big(1+o(1)\big)G(x)\log x $.
Merci d'avance.
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Réponses
Je vois que tu as corrigé le titre. C'est bien l'écart qui doit être maximal, et non les premiers eux-mêmes (anglais maximal prime gap).
Cordialement.
[D'accord, alors on va écrire le titre dans le bon ordre. Cela te convient-il ? AD]
@Shah d'Ock : a priori on aurait plutôt $ \int_{2}^{x}\dfrac{dt}{\pi(t)}=O(log^{2}(x)) $ d'après les inégalités de Tchebychev.