Carré parfait

Bonjour,

$4n^2 + (2n+1)^2$ est un carré quand $n = A(A+B)$ avec $2A^2+1 = B^2.$

En effet :
$4n^2 = 4A^2(A+B)^2$
$(2n+1)^2 = (2A(A+B)+1)^2 = 4A^2 (A+B)^2+1+4A(A+B)$
$4n^2 + (2n+1)^2 =8A^2(A+B)^2 + 4A(A+B) + 1$ et comme $2A^2 = B^2-1$ on a
$4n^2 + (2n+1)^2 =8A^2(A+B)^2 + 4A(A+B) + 1 = 4(B^2-1) (A+B)^2 +4A(A+B) + 1 =\\ =4B^2(A+B)^2 - 4B(A+B) + 1 = (2B(A+B) - 1)^2.$

Bonjour,

Puisque tu demandes $4n^2 + (2n+1)^2 = (2n)^2 + (2n+1)^2$ est un carré, alors c'est de la forme $a^2+b^2 = c^2$ dont les solutions sont les triplets Pythagoriciens : $a = u^2-v^2, b = 2uv, c=u^2+v^2$ ou $a = 2uv, b = u^2-v^2, c=u^2+v^2.$

Dans notre cas, comme $2n+1$ est impair et que $2uv$ est pair, la seule solution est : $2n+1 = u^2-v^2, 2n = 2uv.$

On en déduit, par substitution : $2uv+1 = u^2-v^2$ qui est une équation du second degré en $u$ que l'on sait résoudre. En écrivant que le discriminant est un entier carré, on tombe sur Pell et la solution que je donne.

La réciproque est vraie.

Voilà.

Bonjour,

Pour $n$ entier, $\displaystyle (n+1)^2+2n+1$ n'est jamais un carré.

Démonstration par contraposée.
On suppose qu'il exite un entier $A$ tel que $\displaystyle (n+1)^2+2n+1=A^2.$
On calcule $\displaystyle (n+1)^2+2n+1 = n^2+4n+2 = (n+2)^2-2 = A^2$ et donc on a $\displaystyle (n+2)^2-A^2 = (n+2-A)(n+2+A) = 2.$

Comme $\displaystyle n+2-A \leq n+2+A$, alors la seule solution est $\displaystyle n+2-A=1$ ET $\displaystyle n+2+A=2.$ La somme des deux relations donne $\displaystyle 2n+4 = 3$ : contradiction.

Ajout :
Tu as écrit que $\displaystyle (n+1)^2+2n+1$ n'est pas la somme des deux carrés. C'est faux. Par exemple pour $n=4$, on a bien $(4+1)^2+9 = 5^2+3^2.$