Teigneux ?

Il suffit de regarder la décomposition en nombres premiers j'imagine, ça fait ensuite un système linéaire.

Bonjour,

Sur les entiers : $\displaystyle x^3 = 3 y^a.$

On décompose $x$ et $y$ en produits de facteurs premiers et on trouve deux équations pour égaler les puissances de $3$ et toutes les autres.

On trouve que nécessairement, $\displaystyle x = 3^\alpha X^a, y = 3^\beta X^3$ avec $\displaystyle 3\alpha = 1 + a \beta.$

La réciproque est vérifiée : $\displaystyle x^3 = (3^\alpha X^a)^3 = 3^{3 \alpha} (X^3)^a = 3 (3^\beta X^3)^a= 3^{1+a \beta} (X^3)^a.$

Par exemple pour $a$ pair :
$\displaystyle a=2$, on a $\displaystyle 3\alpha = 1 + 2 \beta$ et les premiers couples $\displaystyle (\alpha, \beta)$ sont $\displaystyle (1,2), (3,4), (5, 7), (7,10)$ donc des solutions sont $\displaystyle x = 3 X^3, y = 3^2 X^3$ ou encore $\displaystyle x = 3^7 X^3, y = 3^{10} X^3$.
Pour $\displaystyle a=4$, on a $\displaystyle 3\alpha = 1 + 4 \beta$ et les premiers couples $\displaystyle (\alpha, \beta)$ sont $\displaystyle (3,2), (7,5), (11, 8)$ donc des solutions sont $\displaystyle x = 3^3 X^3, y = 3^2 X^3$ ou encore $\displaystyle x = 3^{11} X^3, y = 3^{8} X^3$.

Et pour $a$ impair :
$\displaystyle a=1$, on a $\displaystyle 3\alpha = 1 + \beta$ et les premiers couples $\displaystyle (\alpha, \beta)$ sont $\displaystyle (1,2), (2, 5), (3,8), (4, 11), (5, 14)$ donc des solutions sont $\displaystyle x = 3 X^3, y = 3^2 X^3$ ou encore $\displaystyle x = 3^5 X^3, y = 3^{14} X^3$.
Pour $\displaystyle a=3$, on a $\displaystyle 3\alpha = 1 + 3\beta$ et on n'a pas de solution.
Pour $\displaystyle a=5$, on a $\displaystyle 3\alpha = 1 + 5\beta$ et les premiers couples $\displaystyle (\alpha, \beta)$ sont $\displaystyle (2,1), (7,4), (12, 7)$ donc des solutions sont $\displaystyle x = 3^2 X^2, y = 3 X^3$ ou encore $\displaystyle x = 3^{12} X^3, y = 3^{7} X^3$.

Et donc on revient à l'équation $\displaystyle 3\alpha = 1 + a \beta$ et on travaille module $3.$

Pour $\displaystyle a = 0 \mod(3)$, on n'a pas de solution.
Pour $\displaystyle a = 1 \mod(3)$, on a comme solution : $\displaystyle a=3k+1, \alpha = u+3ku-k, \beta = 3u-1.$
Pour $\displaystyle a = 2 \mod(3)$, on a comme solution : $\displaystyle a=3k+2, \alpha =2 v+1 + 3kv+k, \beta = 3v+1.$

Toutes les solutions s'écrivent donc : $\displaystyle a=3k+1, x=3^{u+3ku-k}X^{3k+1}, y = 3^{3u-1}X^3$ et $\displaystyle a=3k+2, x=3^{2v+1+3kv+k}X^{3k+2}, y = 3^{3v+1}X^3.$

Zéro est plus ou moins naturel

Wiki allemand a écrit:

Natürliche Zahl. Die natürlichen Zahlen sind die beim Zählen verwendeten Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 usw. Oft wird auch die 0 (Null) zu den natürlichen Zahlen gezählt.

Bon dimanche à tous !
jacquot

Eh oui, Soland, les mathématiques ont progressé depuis quelques millénaires. La question est de savoir ce qu'on entend maintenant par "ensemble des entiers naturels" et le symbole $\mathbb{N}$.
Je pense par ailleurs que même les gens qui faisaient des encoches sur des os savaient qu'il est possible d'avoir $0$ tête de bétail.
Enfin, c'est sûr qu'il y a toujours des superstitions qui font qu'on continue de rencontrer des gens (y compris sur ce forum) qui ont une sacro-sainte frousse de l'ensemble vide.

Jean--Louis:

Tout fout le camp, le vide n'est plus ce qu'il était. X:-(

PS:
Il est d'un grand intérêt de se pencher sur l'ensemble des poules (et coqs) qui ne sont pas sans dents. :-D

Ben, "Ga", pourquoi ?

Bonsoir à tous,

j'ai dit, à tort, à YvesM que

Moi a écrit:

tu retomberais tout de suite sur la solution qu'a donnée pldx 1

.
En vérité, pdlx 1 ne donne pas la solution sensu stricto, mais deux identités dont elle découle. Si je l'ai bien compris, il nous souffle que nous n'avons qu'à écrire $x$ (resp. $y$) sous la forme $3^nu^2X$ (resp.$3^mv^2Y$) avec ($X$ et $Y$ sans facteur carré et étrangers à $3$) et ($m$ et $n$ strictement positifs) pour obtenir la solution sensu stricto.
Je propose comme solution de ($x^3=3y^a$; inconnue $(a,x,y)\in \mathbb N^{3}$) l'ensemble $\displaystyle{\{(3k+e, 3^{\frac{2}{e}k+1}z^{3k+e}, 3^\frac{2}{e}z^3); e\in \{1,2\} ; (k,z)\in \mathbb N^2\}}$.

Une excuse si j'écris des bêtises: je suis de ceux qui ont passé un mauvais dimanche et, vous le savez qui me cotoyez, ce n'est pas parce qu'un voleur risque la prison plus tôt qu'il l'espérait. En plus, il est des voleurs qui ne risquent rien. Vive la France!

Amicalement
Paul