Décimales de $\pi$

Poirot
Poirot
dans Arithmétique
Ma question va être très vague : sait-on des choses sur les décimales de $\pi$ ? (Hormis le fait qu'elles ne se répètent pas à partir d'un certain rang)

Je me pose la question suite à une vidéo que j'ai vu récemment, où était posée la question suivante : est-il possible d'échanger un certain nombres de décimales (en gardant les mêmes positions) de $\mathrm{e}$ et $\pi$ pour obtenir un nombre rationnel ?

Réponses

  • Fin de partie
    Fin de partie
    A ma connaissance personne n'a montré que parmi les nombres 0,1,...,9 il y en avait un qui n'apparaissait plus dans le développement décimal de $\pi$ à partir d'un certain rang donc les décimales semblent se répéter B-)
  • Sylvain
    Sylvain
    La question que tu évoques a été posée sur MathOverflow, et il me semble que le numéro 1 du site Joel David Hamkins y a répondu.
  • Poirot
    Poirot
    Oui je sais que la question vient de là, et il n'y a pas répondu, il a juste apporté quelques éléments conjecturaux. Je ne demande pas la réponse à cette question.
  • Dom
    Dom
    Peut-être peut-on se poser la question (changer de décimales) pour les décimales des développements de $e$ et $\pi$ en base 2 ?

    On est sûr dans ce cas que les $0$ et les $1$ sont en nombre non fini.
  • fluorhydrique
    fluorhydrique
    il y a une démo qui utilise les fractions continues et qui dit

    soit f une fonction de R vers R
    qui à tout x de R change une quantité finie de décimales de x pour donner y
    alors
    (x est transcendant)<=>(f(x) est transcendant)
  • Poirot
    Poirot
    Bah changer un nombre fini de décimales revient à ajouter un rationnel non ? Je ne vois pas en quoi il y a besoin de fractions continuées.

    Ma question était plutôt la première, la seconde est hors de portée des techniques actuelles apparemment.
  • fluorhydrique
    fluorhydrique
    je me suis mal exprimé

    ma démo dit
    si on change une quantité finie de chiffres d'un transcendant il restera un transcendant
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Il faudrait une référence plus précise du résultat auquel fait référence Fluorhydrique.

    Quand on parle d'un nombre non rationnel et de fraction continue, ce sont les nombres entiers de ce développement en fraction continue qui nous intéressent et pas les décimales de ce nombre.
  • Poirot
    Poirot
    J'ai bien compris ce que tu disais fluo, mais je te dis que c'est trivial, car changer un nombre fini de décimales ça revient à ajouter un rationnel.
  • fluorhydrique
    fluorhydrique
    oui mais quand j'ai parlé de fractions continues je parlais de ma démo

    pas de son résultat final disant que

    "si on change une quantité finie de chiffres d'un transcendant il restera un transcendant"
  • Poirot
    Poirot
    Je ne comprends pas ce que tu cherches à dire. Ta démo de quoi ?
  • fluorhydrique
    fluorhydrique
    bah disant que

    "si on change une quantité finie de chiffres d'un transcendant il restera un transcendant"
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Si on ajoute à un nombre transcendant $\alpha$ un rationnel $r$ on obtient un nombre transcendant $\beta$.


    Démonstration:
    $\alpha=\beta-r$

    Supposons que $\beta$ soit algébrique alors $\beta-r$ est algébrique et donc $\alpha$ aussi ce qui ne se peut pas.
  • fluorhydrique
    fluorhydrique
    oui ça revient à ça
  • Poirot
    Poirot
    Mais quel rapport avec des fractions continuées ?
  • fluorhydrique
    fluorhydrique
    J'ai fait compliqué pour démontrer un truc simple.
    Je fais souvent ça.
    Ma démo fait 30 pages.
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Il y a surement des résultats intéressants quand tu permutes les nombres du développement en fraction continue.
    Mais je ne suis pas sûr que cela apporte quelque chose à la question initiale. :-D
  • pourexemple
    pourexemple
    Salut,

    De 2 choses l'une :
    a/soit tu changes une quantité finie, alors Fluo a répondu à ta question.
    b/soit tu changes un nombre infinie :
    b-1/un nombre dénombrable de changement sans plus de précision : oui.
    b-2/un nombre de changement, de mesure plus petite ou égale à $m$, avec $\mu(A)=\sum \limits_{a\in A} 2^{-a}$.
    b-3/A toi de le préciser.

    Au revoir.
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