Produit des diviseurs
dans Arithmétique
Bonjour,
je cherche à montrer que $n^{d(n)} = P(n)^2$ pour tout entier naturel non nul $n$. Je précise les notations : $d$ est la fonction nombre de diviseurs et $P$ est la fonction produit des diviseurs.
Cela fonctionne facilement sur les puissances de nombres premiers mais comme mes fonctions ne sont pas multiplicatives, je ne suis pas plus avancé.
En décomposant $n = p_1^{a_1} \dots p_r^{a_r}$ comme produit de facteurs premiers, j'arrive à $n^{d(n)} = p_1^{a_1(a_1 + \dots + a_r + r)} \dots p_r^{a_r(a_1 + \dots + a_r + r)}$, mais je n'arrive pas à faire quelque chose avec $P(n)^2$.
je cherche à montrer que $n^{d(n)} = P(n)^2$ pour tout entier naturel non nul $n$. Je précise les notations : $d$ est la fonction nombre de diviseurs et $P$ est la fonction produit des diviseurs.
Cela fonctionne facilement sur les puissances de nombres premiers mais comme mes fonctions ne sont pas multiplicatives, je ne suis pas plus avancé.
En décomposant $n = p_1^{a_1} \dots p_r^{a_r}$ comme produit de facteurs premiers, j'arrive à $n^{d(n)} = p_1^{a_1(a_1 + \dots + a_r + r)} \dots p_r^{a_r(a_1 + \dots + a_r + r)}$, mais je n'arrive pas à faire quelque chose avec $P(n)^2$.
Réponses
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Bonjour.
Tu peux essayer de chercher à quelle puissance $p_1$ apparaît dans $n^{d(n)}$ et dans $P(n)^2$.
Cordialement. -
$$P(n) = \prod_{d \mid n} d = \prod_{d \mid n} \left( \frac{n}{d} \right) = n^{\tau(n)} \prod_{d \mid n} d^{-1} = n^{\tau(n)} \times P(n)^{-1} $$
d'où $ P(n)^2 =n^{\tau(n)}$. -
-
On liste les diviseurs de $n$ par ordre croissant, puis par ordre décroissant, p.ex.
$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 6 & 9 & 18 \\ 18 & 9 & 6 & 3 & 2 & 1
\end{pmatrix}
$$
Le produit des nombres d'une ligne est $P(n)$,
le produit des nombres d'une colonne est $n$ :
$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 6 & 9 & 18 & 5832 \\ 18 & 9 & 6 & 3 & 2 & 1 & 5832 \\ 18 & 18 & 18 & 18 & 18 & 18 & ??
\end{pmatrix}
$$ -
Ce que Soland dit en langage imagé, c'est ce que j'ai dit de manière plus condensée.
C'est une pratique courante en arithmétique : exploiter la bijection de Div$(n)$ dans Div$(n)$ qui, à tout diviseur $d$ de $n$, associe le diviseur $d^{\, \prime}$ tel que $dd^{\, \prime} = n$.
Autre exemple avec les sommes de diviseurs, cette fois : si $\sigma_k (n) = \sum_{d \mid n} d^k$ avec $k\in \mathbb{Z}$ (cette simplification n'est en fait pas utile) et si l'on note $\sigma(n) := \sigma_1(n)$, alors
$$\sigma_{-1} (n) = \sum_{d \mid n} \frac{1}{d} = \sum_{d \mid n} \frac{d}{n} = \frac{1}{n} \sum_{d \mid n} d = \frac{\sigma(n)}{n}.$$
Etc. -
Merci pour cette écriture limpide.
J'étais parti sur l'idée de Gérard, mais en essayant de tout écrire. -
De rien.
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Bonjour!
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