nombre réel algébrique de degré 3

fluorhydrique

April 2017 dans Arithmétique

Edit : c'est faux
Bonjour,
et merci d'avance pour toute réponse

Ma question :
cette conjecture est-elle démontrée ou infirmée?

_____________________
préalable
à tout réel strictement positif $0<x<1$ (je simplifie cette conjecture par ce choix de $x$ pour éviter de rendre ce fil illisible) on fait correspondre par une bijection $f$ une famille infinie $(n_i)_{i\in \mathbb {N}}$ d'entiers naturels où
ici $ x=[n_0,...,n_i,...]$ est l'écriture de x en fractions continues

et pour $B\in \mathbb {N}-\{0,1\}$ fixé et posant
$E=\{0,...,B-1\}$
à tout réel strictement positif $0<x<1$ on fait correspondre par une bijection notée $g_B$ une famille infinie $(m_i)_{i\in \mathbb {N}^*}$ d'éléments de $E$ où ici $ x=m_1B^{-1}+...+m_iB^{-i}+...$
______________________________________
Conjecture

On se donne un réel strictement positif $x\in \mathbb {R}_{alg}, 0<x<1$ et tel que le polynôme minimal de $x$ est de degré $2$
et on se donne un entier naturel $B\in \mathbb {N}-\{0,1\}$
et on considère la famille $g_B(x)=(m_i)_{i\in \mathbb {N}^*}$
donc ici $ x=m_1B^{-1}+...+m_iB^{-i}+...$

et en posant $y\in \mathbb {R}$ tel que $f(y)=(n_i)_{i\in \mathbb {N}}$
donc ici $ y=[n_0,...,n_i,...]$ est l'écriture de y en fractions continues
et ce $y$ tel que selon cette famille $f(y)=(n_i)_{i\in \mathbb {N}}$
on vérifie $n_0 \in \mathbb {N}$
et pour $i>0$ on vérifie $n_i=m_i+1$
alors le polynôme minimal de $y$ est de degré $3$

Réponses

• 

  fluorhydrique

  April 2017

  c'est faux!
  je viens de comprendre pourquoi
• 

  fluorhydrique

  April 2017

  Edit : tout est faux
  
  
  je corrige un peu tout est vraiment faux
  ________________
  
  il existe une bijection notée $f_r$ qui pour tout réel strictement positif fixé $r$ selon $r\in \mathbb {R}_+-\{0,1\}$ et à tout réel $x$ strictement positif selon $0<x<1$ fait correspondre une famille infinie $(k_i)_{i\in \mathbb {N}}$ d'entiers naturels selon
  $k_i \in \mathbb {N}_n$
  avec $n=[r]-1$
  ici $[r]$ désigne la partie entière de $r$
  et les $k_i $selon
  $k_0=0$ et pour $i>0,0\leq k_i \leq [r]-1$
  cette bijection permettant pour $r$ fixé
  d'écrire $x$ de façon unique selon
  $x=k_1r^{-1}+...+k_ir^{-i}+...$
  
  il existe une bijection notée $f_r$ qui pour tout réel $r$ non entier strictement positif et supérieur à 1 fixé selon $r\in \mathbb {R}_+- \mathbb {N},x>1 $ et à tout réel $x$ strictement positif selon $0<x<1$ fait correspondre une famille infinie $(k_i)_{i\in \mathbb {N}}$ d'entiers naturels selon
  $k_i \in \mathbb {N}_{[r]}$
  
  ici $[r]$ désigne la partie entière de $r$
  et les $k_i $selon
  $k_0=0$ et pour $i>0,0\leq k_i \leq [r] $
  cette bijection permettant pour $r$ fixé
  d'écrire $x$ de façon unique selon
  $x=k_1r^{-1}+...+k_ir^{-i}+...$

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