Racines carrées modulo

André49
André49
dans Arithmétique
Bonjour,

Je ne trouve pas de définition claire de la racine carrée d'un entier $n>0$ modulo $m$.

Par exemple, on a :
$$4^2\equiv7 (9)\\5^2\equiv7 (9)\\13^2\equiv7 (9)\\...$$
Comment alors définiriez-vous la racine carrée de $7$ modulo $9$ ?

Réponses

  • Dom
    Dom
    L'exemple que tu donnes est en fait le cas "classique" : il en existe 2.
    4 et -4 ici.
  • André49
    André49
    Bonjour Dom,
    Je veux bien, c'est logique ; mais pourquoi pas aussi $5$ et $-5$ ? $13$ et $-13$ ? Vous me direz que c'est une question de définition... mais c'est bien là le problème.
  • Dom
    Dom
    Modulo 9, on a : 5=-4 ; 4=13 etc.

    Il faut bien se dire que "modulo 9" on n'a que neuf éléments dans l'ensemble que l'on étudie ($\mathbb Z / 9\mathbb Z$).
    Chacun a une infinité de représentants.
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Quel est l'intérêt de considérer LA racine carrée d'un nombre $a$ modulo $n$, sachant que l'équation $x^2\equiv a\mod{n}$ n'a pas nécessairement de solution ou bien une seule classe modulo $n$ solution ou bien deux classes modulo $n$ solution?
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    $x^2\equiv 1 \bmod 15$ a quatre solutions modulo 15.
  • Dom
    Dom
    Un cas "pas classique" (:P)
  • Fin de partie
    Fin de partie
    GaBuZoMeu:

    Je devais probablement penser à $n$ un nombre premier. :-D
    Cela dit, tu ne fais que confirmer par ta remarque judicieuse que cette histoire de LA racine carrée est une notion de peu d'intérêt dans ce cadre-là. B-)-

    PS:
    Combien de solution a l'équation:

    $x^2\equiv 1 \mod{1000!}$ ? B-)-
  • André49
    André49
    Pour en revenir à ma question, on dira donc que tous les $n$ vérifiant $n^2\equiv7(9)$, à savoir ($\pm4, \pm5, \pm13, \pm14, \pm22, \pm23, \pm31, ...$) sont tous tels que $n\equiv4 (9)$ ou $n\equiv-4 (9)$. Donc les seules racines carrées de $7$ modulo $9$ sont $4$ et $-4$.
    Encore faudrait-il prouver que "tous les $n$ vérifiant $n^2\equiv7 (9)$ sont tels que $n\equiv4 (9)$ ou $n\equiv-4 (9)$"
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Version courte : le groupe multiplicatif de $\Z/9\Z$ est cyclique (d'ordre 6).
    Version longue : si $9$ divise $n^2-7$, il divise $n^2-16=(n+4)(n-4)$. Comme $3$ ne divise pas la différence $n+4-(n-4)=8$, $9$ divise l'un des deux facteurs.

    Pour le nombre de racines carrées de 1 modulo $1000!$, c'est $2$ puissance le nombre de premiers plus petits que $1000$.
  • Dom
    Dom
    Ne peut-on pas juste vérifier pour les représentants : 0;1;2;3;4;5;6;7;8 ?
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Dom:

    Evidemment, mais c'est un raisonnement qu'on ferait en terminale S (raisonnement par disjonction des cas), un truc primaire quoi, digne de Cromathgnon X:-(
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