Racines carrées modulo
dans Arithmétique
Bonjour,
Je ne trouve pas de définition claire de la racine carrée d'un entier $n>0$ modulo $m$.
Par exemple, on a :
$$4^2\equiv7 (9)\\5^2\equiv7 (9)\\13^2\equiv7 (9)\\...$$
Comment alors définiriez-vous la racine carrée de $7$ modulo $9$ ?
Je ne trouve pas de définition claire de la racine carrée d'un entier $n>0$ modulo $m$.
Par exemple, on a :
$$4^2\equiv7 (9)\\5^2\equiv7 (9)\\13^2\equiv7 (9)\\...$$
Comment alors définiriez-vous la racine carrée de $7$ modulo $9$ ?
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Réponses
4 et -4 ici.
Je veux bien, c'est logique ; mais pourquoi pas aussi $5$ et $-5$ ? $13$ et $-13$ ? Vous me direz que c'est une question de définition... mais c'est bien là le problème.
Il faut bien se dire que "modulo 9" on n'a que neuf éléments dans l'ensemble que l'on étudie ($\mathbb Z / 9\mathbb Z$).
Chacun a une infinité de représentants.
Je devais probablement penser à $n$ un nombre premier. :-D
Cela dit, tu ne fais que confirmer par ta remarque judicieuse que cette histoire de LA racine carrée est une notion de peu d'intérêt dans ce cadre-là. B-)-
PS:
Combien de solution a l'équation:
$x^2\equiv 1 \mod{1000!}$ ? B-)-
Encore faudrait-il prouver que "tous les $n$ vérifiant $n^2\equiv7 (9)$ sont tels que $n\equiv4 (9)$ ou $n\equiv-4 (9)$"
Version longue : si $9$ divise $n^2-7$, il divise $n^2-16=(n+4)(n-4)$. Comme $3$ ne divise pas la différence $n+4-(n-4)=8$, $9$ divise l'un des deux facteurs.
Pour le nombre de racines carrées de 1 modulo $1000!$, c'est $2$ puissance le nombre de premiers plus petits que $1000$.
Evidemment, mais c'est un raisonnement qu'on ferait en terminale S (raisonnement par disjonction des cas), un truc primaire quoi, digne de Cromathgnon X:-(