À propos de $\pi(x)-L_i(x)$
dans Arithmétique
Bon premier mai.
Littlewood a montré que $\pi(x)-L_i(x)$ change de signe infiniment souvent. Si je ne me trompe pas HR est équivalente au fait que
$$\vert \pi(x)-L_i(x) \vert<x^{1/2+\epsilon}$$
pour tout $\epsilon>0$ et $x$ assez grand. Avec le résultat de Littlewood j'imagine que HR est équivalente à montrer une seule des inégalités suivantes :
i) $\pi(x)-L_i(x) <x^{1/2+\epsilon}$ pour tout $\epsilon>0$ et $x$ assez grand
ii) $\pi(x)-L_i(x) >-x^{1/2+\epsilon}$ pour tout $\epsilon>0$ et $x$ assez grand
Ou j'ai tort ?
Littlewood a montré que $\pi(x)-L_i(x)$ change de signe infiniment souvent. Si je ne me trompe pas HR est équivalente au fait que
$$\vert \pi(x)-L_i(x) \vert<x^{1/2+\epsilon}$$
pour tout $\epsilon>0$ et $x$ assez grand. Avec le résultat de Littlewood j'imagine que HR est équivalente à montrer une seule des inégalités suivantes :
i) $\pi(x)-L_i(x) <x^{1/2+\epsilon}$ pour tout $\epsilon>0$ et $x$ assez grand
ii) $\pi(x)-L_i(x) >-x^{1/2+\epsilon}$ pour tout $\epsilon>0$ et $x$ assez grand
Ou j'ai tort ?
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Réponses
Les deux résultats sont en quelque sorte "antagonistes" : alors que l'hypothèse de Riemann est une estimation par le haut de la différence $\left | \pi(x) - \textrm{Li} (x) \right |$, le théorème de Littlewood est un résultat d'oscillation : plus précisément, Littlewood a montré que
$$\pi(x) - \textrm{Li} (x) = \Omega_{\pm} \left ( \frac{x^{1/2} \log \log \log x}{\log x} \right)$$
où l'on a déjà parlé ici de cette notation $\Omega_{\pm}$, qui signifie qu'il existe deux constantes $C_1,C_2$ telles que les inégalités
$$\pi(x) - \textrm{Li} (x) > C_1 \frac{x^{1/2} \log \log \log x}{\log x} \quad \textrm{et} \quad \pi(x) - \textrm{Li} (x) < - C_2 \frac{x^{1/2} \log \log \log x}{\log x}$$
sont vraies pour des suites $(u_n)$ et $(v_n)$ tendant vers l'infini. En quelque sorte, Littlewood montre que $\pi(x) - \textrm{Li} (x)$ n'est pas un "petit o" de la quantité $ \frac{x^{1/2} \log \log \log x}{\log x}$. Ainsi, ce résultat ne peut pas être utilisé pour "simplifier" le critère connu d'équivalence de l'hypothèse de Riemann.
Toutefois, je ferais trois remarques :
1. Les inégalités écrites par Stator sont imprécises : il manque une éventuelle constante $C_\varepsilon > 0$ dont on voit mal, ici, comment elle ne dépendrait pas de $\varepsilon$.
2. Il existe depuis plus de 40 ans des estimations explicites précises de la différence $\pi(x) - \textrm{Li} (x)$ sous l'hypothèse de Riemann : en 1976, Schœnfeld [1] montre que, si l'hypothèse de Riemann est vraie, alors
$$\left | \pi(x) - \textrm{Li} (x) \right | < \tfrac{1}{8 \pi} \sqrt x \log x \quad \left( x \geqslant 2657 \right)$$
et même que
$$\pi(x) - \textrm{Li} (x) < \tfrac{1}{8 \pi} \sqrt x \log x \quad \left( x \geqslant \tfrac{3}{2} \right).$$
La première inégalité est donc une condition nécessaire et suffisante à l'hypothèse de Riemann.
3. Le résultat de Littlewood implique donc que la différence $\pi(x) - \textrm{Li} (x)$ change de signe infiniment souvent, ce qui a créé une grosse surprise à l'époque (vers 1914), car on n'avait jusque là aucun exemple de réel $x_0$ pour lequel $\pi(x) > \textrm{Li}(x)$ pour $x \geqslant x_0$, et on sait en fait que $\pi(x) < \textrm{Li}(x)$ est vraie pour $x < 10^{14}$. Le plus petit réel $x_0$ pour lequel $\pi(x) > \textrm{Li}(x)$ s'appelle nombre de Skewes, car ce dernier fut le premier, en 1955, à détecter un changement de signe pour
$$x_0 \geqslant 10^{10^{10^{10^3}}}.$$
En 1966, Lehman élabora une formule mi-théorique, mi-algorithmique, qui a permis d'obtenir de substantiels progrès dans la recherche de ce nombre de Skewes, toujours inconnu. Cette méthode, toujours d'actualité, est régulièrement affinée depuis, et on en est actuellement [2] à $x_0 \geqslant e^{727.951 \, 335 \, 426} \approx 1,3972 \times 10^{316}$.
Référence.
[1] L. Schœnfeld, Sharper bounds for the Chebyshev function $\theta(x)$ and $\psi(x)$. II, Math. Comp. 30 (1976), 337--360.
[2] Y. Saouter, T. Trudgian et P. Demichel A still sharper region where $\pi(x) - \textrm{Li} (x)$ is positive, Math. Comp. 84 (2015), 2433--2446.
Le second article est disponible en ligne.
Mais si pour tout $\epsilon>0$ il existait une constante $C(\epsilon)>0$ telle que $\pi(x)-L_i(x)<C(\epsilon)x^{1/2+\epsilon}$ pourrait-on dire quelque chose sur HR vu que le théorème d'oscillation de Littlewood semble dire que ça va aussi loin d'un côté que de l'autre?