Petite conjecture

max8128 · May 2017

Bonjour voici une petite conjecture,
Soient $a$,$b$,$c$ des entiers positifs non nuls tels que $a\geq b \geq c$:
On pose $a-b=\epsilon$ , $b-c=\epsilon $ (histoire de dire qu'il y a le même écart entre chaque variable)
Soit la somme $a^2b+b^2c+c^2a-a^2c-c^2b-b^2a=\beta$
Montrer que la somme résultant de l'addition de chaque chiffre composant le nombre $\beta+1$ est supérieur à la somme résultant de l'addition de chaque chiffre composant le nombre $\epsilon$ ou $\epsilon \geq 100$
Ce résultat ce généralise t-il ?
Bien a vous tous.

etanche · May 2017

Une idee l expression de gauche s exprime avec epsilon en factorisant
ab, bc, ac.

Fin de partie · May 2017

Max:

Tu as établis cette conjecture à la vue de combien d'exemples?
Tu as écrit un programme pour voir si ta conjecture tenait la route sur de très nombreux exemples?

max8128 · May 2017

@Fdp Bah oui j'ai écrit un petit programme qui utilise évidemment l'écriture hexadécimale , et d'autre part la fonction random , bien sûr il y a des boucles while, etc... Et pour l'instant j'ai fait aucune touche . Et de ton côté avec Pari Gp ? Ca donne quoi ?

gerard0 · May 2017

En notant que $\beta=2\epsilon^3$, on a une raison sérieuse de voir pourquoi ça a des chances d'être vrai !!
Mais ce n'est pas une découverte très utile ;-)

gerard0 · May 2017

Et en regardant les premières valeurs, on voit que c'est faux pour $\epsilon = 8$, par exemple a=20,b=12, c=4.

max8128 · May 2017

Merci Gerard0, d'autre part en excluant les petites valeurs (en remplaçant $\beta$ par $\beta +1$ par exemple) comment démontrer un tel résultat ?

gerard0 · May 2017

C'est ta conjecture, cherche ...

max8128 · May 2017

J'ai posé la question sur MSE et cette question a l'air de donner du fil à retordre ... B-)-
Gerard0 ou toute autre personne est-ce qu'un raisonnement probabiliste aurait sa place ici ?

max8128 · May 2017

@Gerard0 j'ai trouvé ceci mais comme je suis novice en la matière je te demande conseil :
Théorème:
Soit N un entier naturel positif quelconque , $N=\sum_{i=0}^{n}a_i10^i$ , $n> 2$ , $a_i$ un entier naturel , tel que $0\leq a_i \leq 9$ , $a_n$ différent de $0$ et $0\leq i \leq 9$ alors :
$$N\geq \frac{1\overbrace{0\cdots0}_{}^{k+1}\overbrace{9\cdots9}_{}^{n-k}}{1+9(n-k-1)}A_n$$
Ou $A_n=\sum_{i=0}^{n}a_i$, et $k$ l'unique entier naturel tel que :
$2+\sum_{i=0}^{k}10^i\leq n \leq 2+\sum_{i=0}^{k+1}10^i$
Cela est à rapprocher de l'inégalité de Chi .
Est-ce pertinent ou non par rapport à ma conjecture ?

Bien cordialement.