Calcul modulaire

Comme $10 = 1$ mod $3$, on a $X^3 - 10 = X^3 - 1$ mod $3$. De plus, de manière générale on a $(a+b)^p = a^p + b^p$ mod $p$ quand $p$ est un nombre premier. Cela vient du fait que quand tu développes le binôme de Newton pour l'expresion $(a+b)^p$, les coefficients binomiaux devant les termes croisés sont divisibles par $p$ (exercice !).

Dans le cas $p=3$ ça se voit directement : $(X-1)^3 = X^3 - 3X^2 + 3X - 1 = X^3 - 1$ mod $3$.

J'imagine que ton Z3 désigne $\mathbb Z/3 \mathbb Z$. Dire que deux polynômes à coefficients dans $\mathbb Z$ sont égaux modulos $3$, c'est juste dire que leurs coefficients de mêmes degrés sont égaux modulo $3$. Donc en effet si $f = X^3 + 5X + 4$ et $g = X^3 + 8X + 7$ alors $f=g$ mod $3$.