question bac

iheb1992
iheb1992
dans Arithmétique
Soit $n$ un entier naturel. Dans $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ , l’équation $2^n x + 3^n y = 6^n$ admet combien de solutions ?

Réponses

  • flipflop
    flipflop
    Tu peux utiliser la parité (ou réduction modulo $2$ si tu préfères).
  • iheb1992
    iheb1992
    desole je ne pas compris votre methode
  • flipflop
    flipflop
    Ah mais tu as changé l'équation !

    Alors $2^n$ divise $y$ et $3^n$ divise $x$ ...
  • roumegaire
    roumegaire
    Les points clés : $6^n = 2^n3^n$ et 2 et 3 sont premiers entre eux.
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Résoudre $2^nx+3^ny=6^n$ sur les entiers.

    On écrit $2^nx+3^ny=6^n$ donc $2^n x = 3^n(2^n-y).$

    Pour $n=0$, on a $x = 1-y$ dont les solutions sont $(x,y) = (0,1)$ ou $(x,y)=(1,0).$ Donc on a deux solutions.
    Pour $n \geq 1$, on a $2^n$ et $3^n$ premiers entre-eux donc $2^n \mid 2^n-y$ et $x \mid 3^n.$ L'équation $2^n \mid 2^n-y$ où $2^n-y \geq 0$ impose que soit $2^n-y=0$ (car $0$ est divisé par tout nombre entier) soit $2^n \leq 2^n-y \implies y=0.$ On a donc deux solutions : $(x,y) = (0,2^n)$ et $(x,y) = (3^n, 0).$
    Les réciproques sont vraies.

    Toutes les solutions sont donc, pour tout $n$, $(x,y) = (0, 2^n)$ ou $(x,y) = (3^n, 0)$ et sont au nombre de deux (à $n$ fixé).
  • flipflop
    flipflop
    Oui, mais c'est dans $\Z$ et non dans $\N$, mais ça ne posera aucun problème de reprendre ton calcul.
  • Chaurien
    Chaurien
    Drôle de question. Si je ne me trompe, lorsque $a$ et $b$ sont deux entiers premiers entre eux, l'équation $ax+by=c$ a une infinité de solutions dans $ \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} $, non ?
    C'est dans $ \mathbb{N} \times \mathbb{N} $ que se pose la question du nombre de solutions, me semble-t-il, non ?
    Bonne après-midi.
    Fr. Ch.
  • iheb1992
    iheb1992
    donc admet une infinite des solution
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Si $x$ et $y$ sont des entiers naturels alors on $2^n x\leq 6^n$ et $3^n y\leq 6^n$ c'est à dire $x\leq 3^n$ et $y\leq 2^n$.

    Mais, comme déjà indiqué par FlipFlop,

    $2^n x+3^ny= 6^n$ entraîne $3^n$ divise $x$ et $2^n$ divise $y$ puisque $2^n$ et $3^n$ divisent $6^n$ et, d'autre part, $2$ et $3$ sont premiers entre eux.

    $3^n$ divise $x$ un entier positif et lui est inférieur ou égal donc $x=0$ ou $x=3^n$.
    $2^n$ divise $y$ un entier positif et lui est inférieur ou égal donc $y=0$ ou $y=2^n$.

    On a 4 couples solutions potentiels, deux ne fonctionnent pas, $(0;0)$ et $(3^n,2^n)$ et on vérifie aisément que les deux qui restent, ceux déjà donnés par YvesM, sont bien solutions.
  • christophe c
    christophe c
    1) D'abord, il faut TOUJOURS mentionner l'inconnue, ici le couple $(x,y)$. Sinon, on n'a pas affaire à une équation et il n'y a rien à résoudre.

    2) Ensuite toute équation est évidente à résoudre si on ne met pas des contraintes sur la forme que doit prendre l'ensemble des solutions, puisque l'ensemble des solutions de E dans A est TOUJOURS $\{x\in A\mid E\}$ où $x$ est l'inconnue de $E$. Par exemple ici, $S_n:=\{(x,y)\in \Z\times \Z \mid 2^nx+3^ny=6^n\}$

    3) Comme ici on a le paramètre $n$, libre, mais non connu, il y a un soin à apporter sur la demande.

    Donc reformule ton exercice (en puisant dans ton cours la précision et l'exigence sur le format attendu pour la description de $S_n$). Et sache que dans 99% des situations (ce ne sont que des exercices de lycée), le simple fait de bien lire la consigne et de respecter les exigences de précisions donne gratuitement la réponse sans quasiment aucune "connaissance" à mobiliser.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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