Retrouver les valeurs à partir d'une moyenne
Bonjour
J'aimerais savoir s'il était possible de retrouver des valeurs à partir d'une moyenne et un effectif total
par exemple :
Dans une classe il y a 32 élèves qui ont tous fait un contrôle, ils ont des notes de 0 à 20, la moyenne de ce contrôle est de 12.5, peut-on à partir d'une formule ou un système, je ne sais quoi, trouver au moins toutes les possibilités de notes qui donnent ce 12.5
J'aimerais savoir s'il était possible de retrouver des valeurs à partir d'une moyenne et un effectif total
par exemple :
Dans une classe il y a 32 élèves qui ont tous fait un contrôle, ils ont des notes de 0 à 20, la moyenne de ce contrôle est de 12.5, peut-on à partir d'une formule ou un système, je ne sais quoi, trouver au moins toutes les possibilités de notes qui donnent ce 12.5
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Réponses
Si les notes sont dans un ensemble fini, par exemple de 0.5 en 0.5, alors on peut : il suffit d'écrire toutes les combinaisons et de choisir celles qui donnent 12.5 de moyenne. C'est mieux à l'ordinateur...
On ne peut pas retrouver les notes de chaque élève.
On peut trouver, par contre, toutes les répartitions possibles. Il y en a un nombre fini si l'on affirme, par exemple, que toutes les notes étaient entières ou autre chose du même genre. Edit : comme le dit @YvesM.
Un exemple simple : j'ai trois entiers naturels, compris entre 0 et 20. Leur moyenne est 10.
Quels sont (peuvent-être) ces entiers ?
Edit : le système, à solutions dans $\mathbb N \cap [0;20]$ s'écrit : $x+y+z=30$.
L'information sur la moyenne se traduit par le fait que:
$x_1+x_2+...+x_{32}=400$
$400=32\times 12,5$
Tu peux supposer que $x_1\leq x_2\leq ... \leq x_{32}$ mais cela fait encore beaucoup de 32-uplets solutions.
On peut s'amuser à dénombrer ce nombre de 32-uplets. :-)
Merci de vos réponses, ça me paraît logique, je pensais qu'il y avait une formule magique pour trouver tout ça.
Je pense donc que le moyen le plus rapide est d'écrire un algorithme qui calculerait toutes les possibilités dans un l'intervalle.
+ Est-il possible de connaître votre niveau scolaire.
Mise en équation :
Soit l'équation $\displaystyle x_1+x_2 + \cdots + x_n = k$ avec $k$ un entier où les inconnues $\displaystyle x_i$ sont entières et $i$ est un indice $\displaystyle i=1, 2, \cdots, n$ avec $n$ un entier non nul.
Pour $\displaystyle n=32$ élèves et une moyenne de $\displaystyle 12.5$ on a $\displaystyle k=12.5 \times 32 = 400$ ; $x_i$ représente la note de l'élève $i.$
Le nombre de solutions entières $\displaystyle (r_1, r_2, \cdots, r_n)$ de l'équation en question est restreint par un ensemble de contraintes : chacune des notes $\displaystyle x_i$ varie par pas de $1$ entre $0$ et $20.$ On a donc, pour tout $\displaystyle i=1, 2, \cdots, n$, $\displaystyle x_i \leq m_i = 20.$
Résolution :
On calcule $\displaystyle m = m_1+m_2 + \cdots + m_n =20 \times 32 = 640$ et l'inégalité $\displaystyle m = 640 \geq k=400$ est vérifiée.
Le nombre de solutions est alors $\displaystyle C_{n+m-k-1}^{n-1} = C_{271}^{31} \sim 5,3(9) . 10^{40}.$
Démonstration :
https://books.google.fr/books?id=PDMGA-v5G54C&pg=PA39&lpg=PA39&dq=counting+the+integer+solutions+of+a+linear+equation+with+unit+coefficients&source=bl&ots=aZMpTC4AQs&sig=AvXuhvy6akhxDHlPXF2RWcYBPtA&hl=fr&sa=X&ved=0ahUKEwiHq4bahdzTAhXLL8AKHTUUBCoQ6AEIZjAI#v=onepage&q=counting the integer solutions of a linear equation with unit coefficients&f=false page 68, paragraphe 2.5, équation (2.14).
Il suffit de compter, mais mes explications ne vallent pas les dix lignes rédigées dans ce livre.
J'ai vérifié à la main que la formule marche dans les cas limites. Dans le cas avec $2$ élèves on trouve $16$ par la formule et en écrivant toutes les combinaisons possibles.