logique mathématique

iheb1992
iheb1992
dans Fondements et Logique
Bonsoir, quelle est la réponse correcte et merci.63188

Réponses

  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    Il y a au moins un piège.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • iheb1992
    iheb1992
    logique est dit qui A la réponse correcte
  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    Il est plus pratique de commencer par écrire correctement la proposition P ("avec" n'est pas un terme logique), pour en écrire sans réfléchir (simple application des règles) la négation).
    P est en fait une implication, écris-la.

    Cordialement.
  • iheb1992
    iheb1992
    la negation est $\mathbb{Q}$ ne dense dans $\mathbb{R}$
  • Thierry Poma
    Thierry Poma
    Bonjour,

    Du boulot : Même si je ne suis pas d'accord pour l'instant avec ce que j'écris, la proposition $(P)$ semble s'écrire\[(\forall\,(a,\,b))(((a,\,b)\in\R\times\R\mbox{ et }a<b)\Rightarrow(\exists\,q)(q\in\Q\mbox{ et }q\in]a,\,b[))\]ou encore de manière équivalente\[(\forall\,(a,\,b))(((a,\,b)\in\R\times\R\mbox{ et }a<b)\Rightarrow]a,\,b[\cap\Q\ne\emptyset)\]ce qui signifie que $\Q$ est dense dans $\R$.

    Cordialement,

    Thierry
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • pldx1
    pldx1
    "ce qui signifie que $\Q$ est dense dans $\R$"

    Qu'est-ce que la signification -éventuelle- vient faire là dedans ?

    La négation d'un truc qui commence par $(\forall a\; avec\; a \in \R)(\forall b\; avec\; b \in \R\; et\; a<b) $ est un truc qui commence par $(\exists a \; avec\; a \in \R)(\exists b \;avec\;b \in \R\; et\; a<b)$. Donc $B,C,D$ ne conviennent pas. Et donc la négation demandée est $A$, par la règle du cinquième exclus.

    Cordialement, Pierre.
  • Foys
    Foys
    Si $\bf P$ est une formule du premier ordre (une propriété), $A$ un ensemble et $x$ une variable, "$\forall x \in A:\mathbf P$" est l'abréviation de "$\forall x (x \in A \Rightarrow \mathbf P)$" et "$\exists x \in A: \mathbf P$" est l'abréviation de "$\exists x(x \in A \wedge \mathbf P)$"

    Après, il est bon de savoir qu'en logique classique, si $\mathbf F$ une formule, l'équivalence suivante est prouvable:
    $\neg (\forall x \mathbf F) \Leftrightarrow \exists x \neg \mathbf F$.

    On en déduit alors que si $E$ est un ensemble et $\mathbf G$ une formule,l'énoncé $\neg \forall \big(x \in E \Rightarrow \mathbf G \big) \Leftrightarrow \exists x \big( x \in E \wedge \neg \mathbf G \big)$, qui n'est autre que $\neg (\forall x \in E: \mathbf G) \Leftrightarrow \exists x \in E:\neg \mathbf G$, est prouvable.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Thierry Poma
    Thierry Poma
    @Pldx1 : Inutile de te mettre dans tous tes états. J'avoue ne pas comprendre cette réaction. 8-)
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • christophe c
    christophe c
    Je n'ai pas lu le fil entier mais l'exercice posté en photo est incorrect. Il me semble raisonnable de ne pas encourager l'étudiant qui a créé le fil à répondre à des questions syntaxiquement invalides. A ses enseignants de faire attention à ce qu'ils écrivent.

    Pour info:

    $\forall x\in E: P$ est une abréviation de $\forall x: (x\in E\to P)$

    et $\exists x\in E: P$ est une abréviation de $\exists x: (x\in E$ et $P)$.

    et $\exists x: P$ abrège (chez les profs qui te gèrent actuellement) $non(\forall x: (non(P)))$

    en particulier, $non(\forall x: P)$ peut se réécrire $\exists x: (non(P))$ dès lors qu'on accepte $non(non(P))==P$

    et $\forall x \forall y: P$ abrège $\forall x:(\forall y: P)$

    et $\forall x \exists y: P$ abrège $\forall x:(\exists y : P)$ (en résumé priorité à droite exceptionnelle pour les quantifications).
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • pldx1
    pldx1
    QCM.

    iheb1992 est étudiant. Son professeur lui demandé : quelle est la réponse correcte parmi A,B,C,D.
    Il a répondu : "Syntax error. Be more careful, dude. Retry with another question." Quelle va être la suite ?

    A. prof: même endroit, même heure, dans six mois.
    B. prof: $Syntax\_error \notin \{A,B,C,D\}$
    C. christophec: je n'avais pas dit que cela t'aiderait à être reçu.
    D. le merle sur la branche: pök-pök-pök
  • Georges Abitbol
    Georges Abitbol
    @christophe : Tu peux préciser ce que tu vois comme problème syntaxique dans la phrase de l'énoncé ? Enfin, mis à part l'usage du français ? Je ne comprends pas bien ce que tu entends par "priorité à droite exceptionnelle pour les quantificateurs". Est-ce que tu es en train d'affirmer que la "traduction formelle" de la phrase de l'énoncé n'est pas la phrase que je voulais y voir, à savoir $\forall a \in \mathbb{R} \forall b \in \mathbb{R} \left((a<b) \Rightarrow \exists q \in \mathbb{Q} \quad a < q \mbox{ et } q<b\right)$ ? Si le français apporte ici une ambiguïté, je ne la vois pas. Je demande ça parce que j'ai eu à donner des TD sur la "gestion des quantificateurs" au niveau tout début de L1 (enfin, c'est de la grosse blague ce qu'on m'a demandé de faire) et j'ai vraiment pris soin d'être le plus formel possible. Mais vu que je n'arrive pas à voir une erreur "manifeste", je me dis que je suis peut-être trop fatigué.e ce soir.

    Et quand tu dis "A ses enseignants de faire attention à ce qu'ils écrivent. ", je me dis que les énoncés d'examens, dans ma fac, te feraient bien rire.
  • christophe c
    christophe c
    @Georges:

    1) je pense que tu me demandes ça parce que tu es tellement habitué que tune vois pas les petits détails comme une difficulté. Mais un début comme : << $\forall a$ et $\forall b$ ...>> pour un étudiant soucieux d'accepter de jouer la règle du jeu d'être formel peut poser de sacrés soucis à un étudiant, quand bien même il n'aurait pas a priori de difficultés originelles avec les maths.

    2) Si d'un autre côté il décide de comprendre le fond pour gommer les erreurs de son prof de lui-même, aussi facile que ce soit, ça constitue une démarche exactement opposée à l'idée même de s'en tenir au formel et dans ce cas, il peut "glisser" jusqu'à chercher des énoncés équivalents à la négation de celui proposé. Par exemple, pourquoi pas $<<3\neq 3>>$?

    Bref, j'ai bien sûr adopté la posture de principe, qui me semble devoir être affichée au moins une fois (quand on voit l'inflation d'ailleurs depuis quelques temps des délires elliptiques dans les fils de logique ;-) (je ne dis ni qu'ils sont faux, ni qu'ils sont vrais, je n'ai d'ailleurs pas d'avis véritable sur leur utilité et n'interdis nullement à leur auteur farceur de s'amuser de la sorte à jouer "avec son feu" si ça le grise)

    On peut aussi se contenter de lui filer un tuyau "en copain", évoquer que c'est un QCM, etc, mais dans ce cas on tombe aussi dans (2).
    Georges a écrit:
    priorité à droite exceptionnelle pour les quantificateurs"

    La convention usuelle de lecture des suites de signes en maths c'est la priorité à gauche. Par exemple $$
    f(x)(y)(z) = ((f(x))(y))(z)
    $$ Dans le cas précis des quantifications, elle est à droite, sauf si on adopte le paradigme que j'ai raconté 2368 fois surle forum de voir l'énoncé comme un jeu à 2 joueurs à info parfaite où dans ce cas, on a un couple (et encore!! C'est discutable) : $$ \forall x\forall yP$$ n'est pas $$(\forall x\forall y)P$$ mais $$ \forall x(\forall yP)$$
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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