Existence d'une solution à $a 2^x=b 2^y$

fasafr · May 2017

Bonjour,

Étant donné deux entiers positifs impairs $a$ et $b$ différents l'un de l'autre et de $0$, je cherche à savoir s'il existe deux entiers $x$, $y$ également positifs (pair ou impair) correspondant tel que $a\times 2^x=b\times 2^y$.

Si oui est-ce que c'est toujours le cas quelles que soient les valeurs de $a$ et $b$, ou s'il n'y a jamais de solution, s'il y a seulement quelques cas particuliers, dans quelle condition, etc., bref si c'est un cas d'algèbre qui à déjà été étudié, voire ultra classique ?

Merci.

Dom · May 2017

Prenons $a=1024$ et $b=128$ on a alors une infinité de couple d'entiers $(x,y)$ qui conviennent.

fasafr · May 2017

Merci jacquot pour la correction, mais justement ça tombe bien (je l'ai demandé dans un autre message) qu'est ce que c'est cette barre qu'on voit tout le temps a droite des chiffres et des lettres depuis quelques temps ? Et qu'est ce que ça change si on ne la met pas ?

fasafr · May 2017

Merci Dom et pardon j'avais oublié un paramètre important : a et b sont tout les deux impair. (J'ai corrigé la question)

fluorhydrique · May 2017

pour enlever la barre à droite il faut faire
clic droit sur l'image puis
maths setting
maths renderer
SVG

Crapul · May 2017

Que penses-tu du cas où $a$ et $b$ sont impairs ? Voir du côté de la décomposition en facteurs premiers, ou du théorème de Gauss...
edit : ouch un train de retard

fasafr · May 2017

A priori j'ai envie de dire que si a et b sont impair alors a/b est forcément un réel et ne peut en aucun cas être égal à 2^(x-y) ou 2^(y-x) non ? (mais combien de fois j'ai cru qu'un problème de math était simple et ce n'était pas du tout le cas

)

Crapul · May 2017

"a/b est forcément un réel" ce serait quoi d'autre ?
Supposons que $(x,y)$ est solution.
si $x=y$, alors $a=b$, ce qui contredit l'hypothèse $a \neq b$
supposons $x>y$. alors $b=2^{x-y}a$ mais...

fasafr · May 2017

crapul a écrit:

"a/b est forcément un réel" ce serait quoi d'autre ?

Oui pardon je voulais dire que ce ne serait pas un entier, ce qui donne plutôt la réponse (qui me parait trop simple) :

Si a et b sont impair alors a/b est forcément un réel non entier et ne peut en aucun cas être égal à 2^(x-y) ou 2^(y-x) qui seraient forcément entiers tout les deux quelque soit x et y s'ils sont entiers non ?

jelobreuil · May 2017

@ fasfr
Bonjour,
Cela a été signalé il y a peu de temps, le mois dernier ou celui d'avant si je me souviens bien, au cours d'un fil sur le forum de géométrie : l'apparition d'une barre verticale à la droite d'une relation ou autre écriture mathématique est liée à l'utilisation du navigateur Google Chrome, et cette barre n'apparait pas quand on utilise Firefox, par exemple, ce que j'ai pu vérifier.
Cordialement
Jean-Louis Breuil

Crapul · May 2017

$\dfrac{9}{3}=?$

fasafr · May 2017

CRAPUL a écrit:

$\dfrac{9}{3}=?$

Ha ben oui :-S

Donc 9/3 = 3 mais je ne trouve pas de solution x et y entiers pour 3*2^x=2^y... Y'en a-t-il ?

Crapul · May 2017

Tu as regardé mon précédent post ?
On peut supposer que si $(x,y)$ est solution, alors il existe $k \in \N$ tel que $a=2^k b$ (ou alors $b=2^k a$).
Vois-tu la contradiction ?