Expression inconnue
dans Arithmétique
Bonsoir,
J'aimerais simplement savoir ce que signifie $3\mathbb{Z}/15\mathbb{Z}$ ?
Merci d'avance.
J'aimerais simplement savoir ce que signifie $3\mathbb{Z}/15\mathbb{Z}$ ?
Merci d'avance.
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Réponses
$15 \mathbb Z$ est bien un sous groupe de $3 \mathbb Z$ (distingué « puisqu'on est commutatif », ici).
Pour les anneaux...
$\mathbb Z/5\mathbb Z$
Cordialement.
on accepte les anneaux non unitaires), alors ces deux anneaux sont non isomorphes, donc tu ne peux pas répondre ça.
@Gil Bill : il s'agit ou bien du groupe $3\mathbb{Z}$ quotienté par $15\mathbb{Z}$, ou bien de l'idéal principal de $\mathbb{Z}/15\mathbb{Z}$ engendré par $3$ (comprendre "la classe de $3$ modulo $15$"). Si je ne me méprends pas, ces deux ensembles sont égaux, et l'addition coïncide (la multiplication "n'ayant pas de sens" sur un groupe noté additivement)
1 n'appartient pas à $3\mathbb{Z}$ .
Allez, une colle : $$3\mathbb Z/5\mathbb Z\text{ = ?} $$
PS : la bonne réponse est la réponse consensuelle... ;-)
Cordialement.
Mais tu as bien fait de réagir ;-).
On a la notion d'ensemble (sans structure ou avec, comme on veut) quotient par une relation d'équivalence.
La notion de groupe quotienté par un sous-groupe, comme @Poirot l'a rappelé.
Et celle que je donnais, par une affirmation bien trop légère, aussitôt rectifiée, encore par @Poirot.
Il ne s'agit pas de "point de vue" puisque tous les bouquins de L1/L2 disent la même chose, non ?
Mais peut-être ne parle-t-on pas ici de cette histoire de "quotient" quant à l'expression "point de vue" ?
J'ai peur aussi de me mettre dans une discussion digne d'un bourbier sans nom...
Je rappelle, à notre aimable clientèle, que $\sqrt {-1}$ n'avait pas de sens, avant qu'on ne lui en donne un, ce qui fût pour le moins fructueux, non ?
Cordialement.
De toutes les façons si la question reste sans réponse, j'en ai plein d'autre dans ce cas (cf ma signature).
Au revoir.
Comme déjà dit, $(3 \mathbb Z)/(5 \mathbb Z)$ n'a pas de sens alors que $(3 \mathbb Z)/(15 \mathbb Z)$ en a un.
On ne peut espérer quotienter un machin que par un sous-machin.
Cordialement,
Rescassol
C'est normal alors que l'on dise "ce truc n'a pas de sens" si personne n'en donne un.
Je savais que la discussion allait faire passer le temps...
Il faut d'abord que l'on soit tous d'accord sur le fait que $(3\mathbb Z)/(3^i \times 5\mathbb Z)$ a du sens pour $i \in \mathbb N^*$. C'est OK ?
Claude, on peut même dire que $(3\mathbb Z)/(n\mathbb Z)$ a un sens si et seulement si $n$ est divisible par $3$.
Cordialement,
Rescassol
Je t'assure que c'est grâce à toi d'une part car tu as utilisé $15 = 3 \times 5$. C'est le coup de l'exposant $i=1$. Et ensuite, Dom a utilisé l'expression ``A la limite'' (ce sont les 3 premiers mots de son post). A ce moment là, mon sang n'a fait qu'un tour et j'ai pensé à :
$$
(3\mathbb Z)/(5\mathbb Z) = \lim_{i \mapsto 0 \atop i \in \mathbb N^*} (3\mathbb Z)/(3^i \times 5\mathbb Z)
$$
Mais je ne veux pas m'attribuer la chose. On peut partager cette invention à trois, je pense ?
En fait, pour Claude : $3\Z/5\Z=\Z_3$, les nombres triadiques, c'est bien cela.
Cordialement.
Je vous donne un exemple parmi d'autre :
$A=\Z[\frac{1}{15}]/\Z[\frac{1}{9}]$
A vous de prouver que vous aussi vous avez de l'imagination, qui sert à autre chose que faire des blagues... :-D