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Expression inconnue

Envoyé par Sneg 
Expression inconnue
l’an passé
Bonsoir,

J'aimerais simplement savoir ce que signifie $3\mathbb{Z}/15\mathbb{Z}$ ?

Merci d'avance.
Re: Expression inconnue
l’an passé
avatar
Je dirais que ce sont les éléments de Z/15Z divisibles par 3.
Dom
Re: Expression inconnue
l’an passé
Dans le langage des groupes, on a bien la notion de quotient d'un groupe par un sous-groupe distingué.
$15 \mathbb Z$ est bien un sous groupe de $3 \mathbb Z$ (distingué « puisqu'on est commutatif », ici).

Pour les anneaux...
Re: Expression inconnue
l’an passé
avatar
Salut,

$\mathbb Z/5\mathbb Z$

Cordialement.
Re: Expression inconnue
l’an passé
Écrit comme ça, c'est le quotient de l'anneau $3\mathbb Z$ par l'idéal $15 \mathbb Z$ (ou bien selon le parenthésage, l'idéal engendré par la classe de $3$ dans $\mathbb Z/15 \mathbb Z$). On montre sans mal qu'il est isomorphe à $\mathbb Z/5 \mathbb Z$.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Poirot.
Re: Expression inconnue
l’an passé
@pourexemple : ces deux groupes sont isomorphes, mais si on est large dans la définition d'anneau (i.e. si
on accepte les anneaux non unitaires), alors ces deux anneaux sont non isomorphes, donc tu ne peux pas répondre ça.

@Gil Bill : il s'agit ou bien du groupe $3\mathbb{Z}$ quotienté par $15\mathbb{Z}$, ou bien de l'idéal principal de $\mathbb{Z}/15\mathbb{Z}$ engendré par $3$ (comprendre "la classe de $3$ modulo $15$"). Si je ne me méprends pas, ces deux ensembles sont égaux, et l'addition coïncide (la multiplication "n'ayant pas de sens" sur un groupe noté additivement)

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Expression inconnue
l’an passé
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Anneau ou pseudo-anneau quotient, telle est la question ! winking smiley
Re: Expression inconnue
l’an passé
avatar
Poirot:

1 n'appartient pas à $3\mathbb{Z}$ .

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Expression inconnue
l’an passé
Je prends la définition large d'anneau sans élément unité grinning smiley Je ne vois pas ce qui empêcherait de définir la notion d'idéal et d'anneau quotient pas un idéal dans ce cadre.
Re: Expression inconnue
l’an passé
avatar
Salut,

Allez, une colle : $$3\mathbb Z/5\mathbb Z\text{ = ?} $$

PS : la bonne réponse est la réponse consensuelle... winking smiley

Cordialement.



Edité 2 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par jacquot.
Re: Expression inconnue
l’an passé
$(3 \mathbb Z)/(5 \mathbb Z)$ n'a pas de sens, tandis que $3(\mathbb Z/ 5 \mathbb Z) = \mathbb Z/5 \mathbb Z$ car $3$ et $5$ sont premiers entre eux.
Re: Expression inconnue
l’an passé
avatar
@Poirot : Ok, si ta réponse (pas de sens) fait consensus alors c'est la bonne.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par pourexemple.
Re: Expression inconnue
l’an passé
Merci à tous pour vos réponses !
Dom
Re: Expression inconnue
l’an passé
En effet, pour des groupes la notation A/B est définie lorsque B est un sous-groupe distingué du groupe A.
Re: Expression inconnue
l’an passé
@Dom : c'est faux. L'ensemble quotient $G/H$ a toujours un sens quand $H$ est un sous-groupe quelconque de $G$. C'est l'ensemble des classes à gauche modulo $H$, c'est-à-dire l'ensemble des $gH$ pour $g$ parcourant $H$, ou encore l'ensemble des classes d'équivalence pour la relation $x \sim y$ si et seulement si $x^{-1}y \in H$. Par contre cet ensemble n'est muni d'une structure de groupes compatible avec celle de $G$ (c'est-à-dire telle que l'application de projection soit un morphisme de groupes) que si et seulement si $H$ est distingué dans $G$.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Poirot.
Dom
Re: Expression inconnue
l’an passé
Oui, j'entendais un groupe quotient (c'est à dire avec une structure de groupe).
Mais tu as bien fait de réagir winking smiley.
Re: Expression inconnue
l’an passé
avatar
Pour motiver un autre point de vue que celui de Poirot : [www.les-mathematiques.net]
Dom
Re: Expression inconnue
l’an passé
Je ne vois pas de quel point de vue il s'agit, et pourquoi on parle de point de vue.

On a la notion d'ensemble (sans structure ou avec, comme on veut) quotient par une relation d'équivalence.
La notion de groupe quotienté par un sous-groupe, comme @Poirot l'a rappelé.
Et celle que je donnais, par une affirmation bien trop légère, aussitôt rectifiée, encore par @Poirot.

Il ne s'agit pas de "point de vue" puisque tous les bouquins de L1/L2 disent la même chose, non ?

Mais peut-être ne parle-t-on pas ici de cette histoire de "quotient" quant à l'expression "point de vue" ?

J'ai peur aussi de me mettre dans une discussion digne d'un bourbier sans nom...



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Dom.
Re: Expression inconnue
l’an passé
avatar
Salut,

Je rappelle, à notre aimable clientèle, que $\sqrt {-1}$ n'avait pas de sens, avant qu'on ne lui en donne un, ce qui fût pour le moins fructueux, non ?

Cordialement.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par pourexemple.
Re: Expression inconnue
l’an passé
Alors quel sens donnes-tu à $(3 \mathbb Z)/(5 \mathbb Z)$ ?
Re: Expression inconnue
l’an passé
avatar
C'est pas un peu triste de faire les questions et les réponses, non ?
Re: Expression inconnue
l’an passé
C'est toi qui fait le malin à prétendre que tu saurais donner un sens à ceci. Ton absence de réponse me conforte dans l'idée que tu parles pour pas grand-chose.
Re: Expression inconnue
l’an passé
avatar
C'est un moyen comme un autre pour essayer de me tirer les vers du nez, cela est sans effet avec toi (Poirot).

De toutes les façons si la question reste sans réponse, j'en ai plein d'autre dans ce cas (cf ma signature).

Au revoir.
Re: Expression inconnue
l’an passé
avatar
De plus pour l'instant ta réponse fait consensus, donc ta réponse est la bonne (pour l'instant)
Re: Expression inconnue
l’an passé
Bonjour,

Comme déjà dit, $(3 \mathbb Z)/(5 \mathbb Z)$ n'a pas de sens alors que $(3 \mathbb Z)/(15 \mathbb Z)$ en a un.
On ne peut espérer quotienter un machin que par un sous-machin.

Cordialement,

Rescassol



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Rescassol.
Dom
Re: Expression inconnue
l’an passé
À la limite, on peut dire que ça a du sens tant qu'on en donne un.

C'est normal alors que l'on dise "ce truc n'a pas de sens" si personne n'en donne un.

Je savais que la discussion allait faire passer le temps...
Re: Expression inconnue
l’an passé
J'ai passé pas mal de temps à essayer de définir $(3\mathbb Z)/(5\mathbb Z)$. Sans y parvenir. Mais les derniers posts de Rescassol et celui de Dom ont provoqué chez moi un véritable déclic (merci à eux).
Il faut d'abord que l'on soit tous d'accord sur le fait que $(3\mathbb Z)/(3^i \times 5\mathbb Z)$ a du sens pour $i \in \mathbb N^*$. C'est OK ?
Re: Expression inconnue
l’an passé
Bonne nuit,

Claude, on peut même dire que $(3\mathbb Z)/(n\mathbb Z)$ a un sens si et seulement si $n$ est divisible par $3$.

Cordialement,

Rescassol
Re: Expression inconnue
l’an passé
Salut Rescassol,
Je t'assure que c'est grâce à toi d'une part car tu as utilisé $15 = 3 \times 5$. C'est le coup de l'exposant $i=1$. Et ensuite, Dom a utilisé l'expression ``A la limite'' (ce sont les 3 premiers mots de son post). A ce moment là, mon sang n'a fait qu'un tour et j'ai pensé à :
$$
(3\mathbb Z)/(5\mathbb Z) = \lim_{i \mapsto 0 \atop i \in \mathbb N^*} (3\mathbb Z)/(3^i \times 5\mathbb Z)
$$
Mais je ne veux pas m'attribuer la chose. On peut partager cette invention à trois, je pense ?
Re: Expression inconnue
l’an passé
avatar
On peut faire la limite quand $i$ tend vers $0$ quand même, et le corps $\mathbb{F}_{\mathbb{UN}}$ entre en jeu grinning smiley
Re: Expression inconnue
l’an passé
avatar
Salut,

En fait, pour Claude : $3\Z/5\Z=\Z_3$, les nombres triadiques, c'est bien cela.

Cordialement.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par pourexemple.
Re: Expression inconnue
l’an passé
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Bon aller je raisonne à voie haute, manière de stimuler votre imagination.

Je vous donne un exemple parmi d'autre :

$A=\Z[\frac{1}{15}]/\Z[\frac{1}{9}]$



Edité 2 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par pourexemple.
Re: Expression inconnue
l’an passé
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Alors maintenant que vous savez cela possible, à vous de faire mieux.
Re: Expression inconnue
l’an passé
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A noter que $p\Z=\{P(p)|P\in \Z[x] \text{ et } P(0)=0\}$ et d'où : $1/p\Z=\Z[1/p]$...

A vous de prouver que vous aussi vous avez de l'imagination, qui sert à autre chose que faire des blagues... grinning smiley



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par pourexemple.
Re: Expression inconnue
l’an passé
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@Poirot : Ton absence de réponse me conforte dans l'idée que tu parles pour pas grand-chose... cool smiley
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