Série des inverses des nombres premiers

C'est pourquoi on l'exclut.

Ce qui est surprenant, c'est que dans mon entourage non mathématique, il y a plusieurs personnes qui se souviennent des nombres premiers (en soi c'est déjà surprenant :-D) mais quasiment tous sont persuadés que $1$ est premier. Pour certains, je ne sais même pas quelle source leur citer car wikipédia est évidemment une source des plus mauvaises pour eux (quand ça les arranges :-P).

Je soupçonne qu'un certain nombre de profs leur ont expliqué que la définition de $n$ premier est "$n$ divisible par $1$ et lui-même", mais où ces profs ont-ils appris cela, mystère ...

Il ne faut pas toujours boire les paroles qu'on lit comme du petit lait. X:-(

skyffer3:

Cidrolin cite des auteurs, qui affirment dans leur livre, si je comprends bien que 1 est premier.

L'un des auteurs est Lespinard qui a un nom proche d'un mot argot. (je ne parle pas d'épinards) d'où mon jeu de mots tiré par les cheveux. :-)

Si on dit les choses, autant les dire correctement : utiliser l'équivalent $p_n \sim n \log n$, qui est de la même force que le Théorème des Nombres Premiers (TNP), pour en déduire une égalité asymptotique pour $\sum_{p \leqslant x} \frac{1}{p}$ est un anachronisme.

Le TNP date de 1896 et utilise, dans sa démonstration forte, les outils d'analyse complexe les plus évolués du moment. Et même la démonstration d'Erdös et Selberg de 1949, dite "élémentaire", est d'une bien plus grande profondeur que les résultats de Mertens, datant de 1874, concernant les produits et sommes sur les nombres premiers, et ce même si l'on peut considérer que ses résultats sont un premier pas vers le TNP.

Voilà comment les choses se sont passées.

1737. Euler établit la divergence de la série $\sum_p 1/p$ en comparant le produit infini $\displaystyle \frac{2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 \times \dotsb}{1 \times 2 \times 4 \times 6 \times 10 \times \dotsb}$ à la série harmonique $\displaystyle 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dotsb$, et en montrant qu'ils donnent le même résultat. Euler savait donc déjà que la somme $\sum_{p \leqslant x} \frac{1}{p}$ avait un ordre de grandeur de $\log \log x$.

1808. Legendre (Théorie des Nombres, troisième édition, quatrième partie, VIII) tente une première version quantitative du résultat d'Euler, en donnant, sans preuve, l'identité
$$\sum_{p \leqslant x} \frac{1}{p} = \log (\log x - 0,08366) + C$$
où $C$ est une "constante inconnue".

1852. Chebyshev tente une démonstration de l'égalité de Legendre, mais n'y parviens pas (et pour cause...). Cette somme devient alors un grand défi pour les arithméticiens de l'époque...

1874. Le grand gagnant est Mertens, qui démontre l'identité correcte suivante. Pour tout réel $x \geqslant 1$
$$\sum_{p \leqslant x} \frac{1}{p} = \log \log x + \gamma + \sum_{m=2}^\infty \mu(m) \frac{\log(\zeta(m))}{m} + \delta$$
où
$$\left | \delta \right | < \frac{4}{\log(\lfloor x \rfloor +1)} + \frac{2}{\lfloor x \rfloor \log (\lfloor x \rfloor)}.$$
Les connaisseurs auront remarqué l'extraordinaire travail de précision de Mertens concernant le terme d'erreur (rappelons que nous sommes 22 ans avant le TNP), et même aujourd'hui on n'a pas fait beaucoup mieux malgré l'avènement de l'ordinateur.

L'idée de la démonstration de Mertens est la suivante, que l'on a repris dans tous les cours de théorie analytique des nombres :

1. Par sommation partielle, se ramener à l'étude de la somme $\sum_{p \leqslant x} \frac{\log p}{p}$ (je rappelle que tout produit / somme indicée par $p$ ne porte que sur les nombres premiers).

2. Montrer alors que cette somme est égale à $\log x + R(x)$ avec $\left | R(x) \right | < 2$. Pour ce faire, on utilise deux outils fondamentaux : la formule de Legendre concernant la valuation $p$-adique de $n!$ et les encadrements de Chebyshev concernant la première fonction de Chebyshev $\theta(x) := \sum_{p \leqslant x} \log p$.

Les détails de ces calculs se trouvent dans tous les ouvrages de théorie des nombres.

Pour CV Eynden, citant Dickson, c'est Kronecker qui complète la démonstration de Euler.
Par ailleurs l'article de Eynden (en pièce jointe) est autrement plus riche que la page Wikipedia.

Je cite :

La querelle de savoir si le chiffre 1 est premier ou non date des années 1970 où on décréta brusquement qu'il ne l'était pas alors qu'auparavant (le livre Lespinard et Pernet en fait foi) tout le monde admettait cet état de fait. .... je coupe. On peut dire sans exagérer que c'est une décision de technocrates.

Ben, heureusement que Jean Lismonde est là pour remettre de l'ordre, appuyé par une solide référence (Lespinard et Pernet). Quel naïf j'ai été jusqu'à ce jour de croire, en théorie de la divisibilité, à la nécessité de définitions uniformes. Il faut dire pour ma défense que j'ai l'habitude de lire des ouvrages plutôt universitaires (Arithmétique dans les anneaux, Théorie de la divisibilité, Théorie des nombres ..). Dans TOUS ces ouvrages, dans les définitions ad-hoc, on écarte soigneusement 0 et les inversibles.
Par exemple, dans un anneau intègre $A$ : un élément $a \in A$ est irréductible s'il n'est ni nul ni inversible et si patati-patata, un élément $a \in A$ est premier s'il n'est ni nul ni inversible et si patati-patata. Etc...

Et que vois je chez Dedekind, dans l'un des articles fondateurs de la théorie des nombres algébriques :

Un idéal $\mathfrak p$ de $\mathcal O$, différent de $\mathcal O$, qui n'a aucun diviseur autre que $\mathfrak p$ et $\mathcal O$ est dit premier. De cette divisiblité des idéaux, qui comprend évidemment celles des nombres ...etc...

Sur la Théorie des Nombres entiers algébriques, 1877, Bulletin des Sciences mathématiques et astronomiques, série I, t XI, p. 272.

A bas les technocrates. Et merci à Jean Lismonde (et Lespinard/Pernet), grands spécialistes de la théorie de la divisibilité devant l'éternel.

@Éric : Kronecker, je ne savais pas, mais je maintiens que Chebyshev a aussi tenté son coup.

Quant à $1$...j'ai préféré ne pas répondre !!!

Bonjour à toutes et à tous.
Jeune retraité je renoue avec mes anciennes amours et découvre avec gourmandise votre site ! A la lecture de ce fil de discussion sur les nombres premiers je me pose la question suivante.
"Coincée" entre la série (divergente) des inverses des entiers et la série (convergente) des inverses des carrés des entiers on trouve la série (divergente) des inverses des premiers, et comme l'indique jean lismonde la série (convergente) des inverses des produits p.ln(p). Mais qu'en est-il de la série des inverses premiers indexés par les nombres premiers eux-mêmes ? Plus précisément, si p(n) est le n-ième nombre premier, que dire de la série des inverses des p(p(n)), et même plus généralement des inverses des p(p(...p(n)...))? Je dois avouer ne pas trop savoir comment chercher des infos sur ce sujet...
Cordialement, dans l'attente de vous lire,
Y.

Merci pour cette réponse rapide ! Si je continue :
$p(n) \sim n\ln(n)$ donc $p\big(p(n)\big) \sim n.\big(\ln(n)\big)^2$ en laissant tomber les termes en $\ln\big(\ln(n)\big)$
Donc la série se comporte comme l'intégrale de $1/\big(x.(\ln(x))^2\big)$ qui est définie. Correct ?
Merci d'avance.
Y.

Merci beaucoup!
Y.