Étrangeté
dans Arithmétique
Bonjour,
Soient les deux ensembles :
$G_1=\{1,2,3,4,5,6\}$ muni de la multiplication modulo $7$
$G_2=\{3,6,9,12,15,18\}$ muni de la multiplication modulo $21$
Si j'associe les éléments de ces deux ensembles comme ceci :
$G_2=03,06,09,12,15,18$
$G_1=03,06,02,05,01,04$
(3 de $G_2$ associé à 3 de $G_1$, 6 de $G_2$ associé à 6 de $G_1$, 9 associé à 2, etc.)
alors, on remarque que, pour tous éléments $m_1$ et $n_1$ de $G_1$ associés respectivement aux éléments $m_2$ et $n_2$ de $G_2$,
si $m_1\cdot n_1\pmod 7=r_1$ et $m_2\cdot n_2\pmod{21}=r_2$
alors $r_1$ et $r_2$ sont eux aussi associés l'un à l'autre dans le tableau ci-dessus.
Quel nom porte cette particularité mathématique ?
Merci d'avance.
Soient les deux ensembles :
$G_1=\{1,2,3,4,5,6\}$ muni de la multiplication modulo $7$
$G_2=\{3,6,9,12,15,18\}$ muni de la multiplication modulo $21$
Si j'associe les éléments de ces deux ensembles comme ceci :
$G_2=03,06,09,12,15,18$
$G_1=03,06,02,05,01,04$
(3 de $G_2$ associé à 3 de $G_1$, 6 de $G_2$ associé à 6 de $G_1$, 9 associé à 2, etc.)
alors, on remarque que, pour tous éléments $m_1$ et $n_1$ de $G_1$ associés respectivement aux éléments $m_2$ et $n_2$ de $G_2$,
si $m_1\cdot n_1\pmod 7=r_1$ et $m_2\cdot n_2\pmod{21}=r_2$
alors $r_1$ et $r_2$ sont eux aussi associés l'un à l'autre dans le tableau ci-dessus.
Quel nom porte cette particularité mathématique ?
Merci d'avance.
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Réponses
Si $a=r_1 + k_1n$ avec $k_1 \in \mathbb Z$ et $b=r_2 + k_2n$ avec $k_2 \in \mathbb Z$ alors $ab = r_1r_2 + n(r_1k_2+r_2k_1+k_1k_2n)$, ce qui prouve que $ab$ mod $n$ = $(a$ mod $n) \times (b$ mod $n)$.
Mais, ça ne marche plus si on associe les éléments de cette façon-ci :
$G_2=3,6,9,12,15,18$
$G_1=1,2,3,04,05,06$
(3 associé à 1, 6 associé à 2, 9 associé à 3, etc.)
Pourquoi ?
$G_2=05,10,15,20,25,30,35,40,45,50$ muni de la multiplication modulo 55
$G_1=05,10,04,09,03,08,02,07,01,06$ muni de la multiplication modulo 11
On peut trouver une infinité d'exemples.
$G_1=\{1,2,3,...,(k-1)\}$, muni de la multiplication calculée modulo $k$
$G_1=\{a,2a,3a,...,(k-1)a\}$, muni de la multiplication calculée modulo $ka$
où $k$ est un nombre premier et $a$ un entier strictement positif non multiple de $k$.
En fait, ces deux types d'ensembles sont des groupes cycliques et je pensais que la question que j'ai posée au premier message était plus une question de structures algébriques que d'arithmétique modulaire.