Exercice avec factorielle

etanche · May 2017

Bonjour ,

Le nombre $N!$ écrit en base dix se termine par un huit suivi d’exactement mille zéros.
Que vaut $N$ ?

Source le problème 512-1 APMEP , en espérant que le bulletin vert continuera avec la rubrique les problèmes de l'APMEP.

bisam · May 2017

On peut commencer par déterminer un encadrement de $N$.
On sait que le nombre de 0 à la fin de $N!$ est égal à la valuation de 5 dans la décomposition en facteurs premiers de ce nombre, et qu'elle vaut $$1000=v_5(N!)=\sum_{k=1}^{\lfloor \log_5(N)\rfloor} \left\lfloor \frac{N}{5^k} \right\rfloor$$

Or, on peut majorer : $\displaystyle v_5(N!)\leq \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{N}{5^k} =\frac{N}{4}$.
On en déduit que $N\geq 4000$, puis, par tâtonnement, on arrive à $4005\leq N \leq 4009$.

Il reste à déterminer le dernier chiffre non nul de $N!$ dans chacun de ces 5 cas, pour voir dans quel cas il vaut 8.

Rescassol · May 2017

Bonjour,

En Python, le code:

from math import *

tab=[]
for n in range(4005,4010):
    f=factorial(n)//(10**1000)
    tab+=[f-10*(f//10)]
print(tab)

donne:

[2, 2, 4, 2, 8]

Cordialement,

Rescassol

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