une estimation de somme

Bonjour à tous
Je suis arrêté par un petit artifice de calcul dans une démonstration.

On commence par poser le
Lemme 1: Pour tout entier $H \geq 1$ et tout $x \in \mathbb{R}$, on a:
$\bigl|\psi(x) + \sum\limits_{o<|h|\leq H} c_{h,H} \frac{e(hx)}{2\pi ih}\bigr| \leq \frac{1}{2H+2} \times \left\{1 + \sum\limits_{0<|h| \leq H} (1 - \frac{|h|}{H+1})e(hx)\right\}$
où $\psi$ est la "première fonction de Bernouilli Bernoulli", périodique de période 1, développable en séries de Fourier et où les nombres $(c_{h,H})$ sont des coefficients vérifiant $0 \leq c_{h,H} \leq 1$ pour tout entier $h$ tel que $0 < |h| \leq H$.
Je crois que c'est une forme élémentaire de ce qu'on appelle en arithmétique l'inégalité de Van der Corput.
On veut démontrer le corollaire suivant en s'appuyant sur le lemme 1.

Corollaire: Soient $N \geq 1$ entier et $f: ]N,2N] \to \mathbb{R}$ une fonction quelconque. Alors pour tout entier $H \geq 1$, on a:
$\bigl|\sum\limits_{N < m \leq 2N} \psi(f(m))\bigr| \leq \frac{N}{2H} + 2 \sum\limits_{h=1}^{H}\frac{1}{h}\bigl|\sum\limits_{N < m \leq 2N} e(h(f(m)) \bigr|.$

Pour démontrer ce corollaire, on commence par appliquer ce qui ressemble à l'inégalité de Cauchy-Schwartz Schwarz puis on utilise le "Lemme 1" en remplaçant $x$ par $f(m)$ et on somme sur $m \in \{N+1,\ldots,2N\}$:

$\bigl|\sum\limits_{N<m \leq 2N} \psi(f(m)) \bigr| \leq \bigl| \sum\limits_{N < m \leq 2N} \sum\limits_{0 < |h| \leq 2N} c_{h,H} \frac{e(h(f(m))}{2 \pi ih} \bigl| + \sum\limits_{N < m \leq 2N} \bigr| \psi (f(m)) + \sum\limits_{0 < |h| \leq H} c_{h,H} \frac{e(h(f(m))}{2 \pi ih} \bigl|$
$\leq \frac{N}{2H + 2} + \sum\limits_{0 < |h| \leq H} (\frac{1}{2 \pi |h|} + \frac{1}{2H + 2}) \times \bigl|\sum\limits_{N < m \leq 2N} e(h(f(m))\bigr|$

Tout est clair sauf l'origine de $\frac{1}{2 \pi |h|}$ dans l'expression $\sum\limits_{0 < |h| \leq H} (\frac{1}{2 \pi |h|} + \frac{1}{2H + 2})$ ci-dessus...
J'ai distribué $\frac{1}{2H + 2}$ dans $\sum\limits_{0 < |h| \leq H} (\frac{1}{2 \pi |h|} + \frac{1}{2H + 2})$, j'ai réduit au même dénominateur mais le compte n'y est pas.
Un indice serait le bienvenu.
Cordialement...

PS: $e(t) = e^{\pi i t}$...

Le problème des diviseurs de Dirichlet
O. Bordellès
quadrature n°71