somme d'un carré et d'un entier positif

donnet
donnet
dans Arithmétique
Bonjour à tous


Nous savons que si a et b sont des entiers la somme S1= a2+b2 peut théoriquement s'écrire d'au moins deux façons théoriques sous forme de somme de deux carrés d'entiers.
par exemple avec b=3
si a=89 il y a 4 possibilités
S1=892+32
ou S1=192+872
ou S1=372+812
et S1= 732+512

si a=301 il y a 8 possibilites : les autres 193 couples seront (193,231);(139,267);(49,297);(113,279);(239,183);(293,69);(77,291)

si maintenant on examine la somme d'un entier au carré et d'un entier positif quelconque S2= a2+ b
la somme s2 peut s'écrire au moins de deux façons théoriques sous forme S2= a2+b*c2.

:exemple avec b=7
si a=13 ,S2=132+7 ou S2=12+7*52
si a=79 il y a 4 possibilités
S2=792+7*12
S2=652+7*172
S2=192+7*292
s2=612+7*192
si a=1407 il y a 5 possibilités.

Les questions que je me pose
1-y a t'il eu des travaux permettant de prédire le nombre exact de décompositions possibles d'une somme de deux carrés donnée.
2 même problématique pour une somme d'un carré et d'un entier
Ou j'en suis
j'ai utilisé mes formules de factorisation de la formule des nombres chanceux d'Euler (dans le cas P(T)=T2+Q
(voir mon article dans Shtam sur la divisibilité du trinôme d'Euler)
et appliqué l'identité de Diophante aux résultats
je ne suis pas certain que cela ne débouche que sur une impasse

Merci de vos lumiéres

Courtoisement
Serge.Donnet

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Je crois qu'il y a une formule due à Jacobi qui donne explicitement le nombre $r_2(n)$ qui correspond au nombre de couples $(a,b) \in \mathbb Z^2$ tel que $n=a^2+b^2$, malheureusement je ne la retrouve pas pour le moment.
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Pour le nombre de décompositions d'un nombre N en une somme d'un carré et d'un entier.

    n'importe quel carré inférieur à N auquel on rajoute leur différence positive convient.

    C'est à dire qu'il doit y avoir partie entière de $\sqrt{N}$ plus 1 telles décompositions sauf erreur.
  • donnet
    donnet
    Bonsoir
    Cher Poirot
    Merci pour cette indication je vais chercher du coté de ces R2(n)

    Cher Fin de Partie
    Ce n'est pas tout à fait un carré plus n
    la forme que je cherche est du type
    Si S=a2+Q les autres S doivent s'écrire un carré + Q fois un autre carré


    Soitr un trinôme de la variable entière X P[T(X)]=T(X)2+Q

    Lorsque P(T) n'est pas premier et Q élément de Z ,on peut représenter P[(X)] par le produit de deux trinômes R1(X) et R2(X)
    tesls que
    R1(X)=(G1*X+K1)2 +<G12*Q
    R2(X)=(G2*X+K2)2 +<G22*Q
    avec
    T(X)=G1*G2*X2+B*X+K1*K2 +G1*G2*Q

    G1et G2 étant deux entiers positifs premiers entre eux K1 et K2 leurs coefficients de Bezout
    (la solution particulière pour faire simple)
    La condition de primalité s'exprimant par G1*K2-G2*K1=1 ou -1
    avec B=G1*k2+G2*K1

    P[T(X)]=R1(X)*R2(X)
    Comme R1 (X) et R2(X) sont des sommes de carrés on peut utiliser l'identité de Diophnate généralisée

    (a2+N*b2)*(C2+Nd2)=(ac+N*bd)2+N*(ad-bc)2

    et aussi = (ac-Nbd)2+(N*(ad+bc)2

    On obtient finalement la second forme de la somme
    P[T(X)]=(T(X)-2G1*G2*Q)2 +Q*(2*G1*G2*X+B)2

    Bien entendu si Q est un carre on est ramené au cas classique
    j'obtiens bien en faisant varier tous les G1 et G2 toutes les décompositions possibles pour un même T(X)
    (T(X)2+Q2 ) (ou Q) dans le second cas)

    Cependant je n'ai pas pu faire encore de liens entre le nombre de cas d'obtention d'un même T(X) et le nombre de décompositions
    possible

    Courtoisement
    Serge Donnet
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Je me suis fié au titre de cette file de messages. B-)-
  • donnet
    donnet
    bonjour à tous

    un de mes amis a identifié
    une particularité qui peut aider à trouver une seconde décomposition en somme de carrés (pour un couple( G1,G2)
    l'un des termes de celle ci n'est autre que la dérivée du trinôme
    T(X)=G1*G2*X2+B*X+K1*K2 +G1*G2*Q

    qui donne 2*G1*G2*X+B

    les G1,G2,,K1,K2 et B étant définis comme ci dessus.

    En Résumé
    Vous prenez deux nombres premiers G1,G2 quelconques.
    Vous cherchez les coefficients de Bezout K1 et K2solutions particulières,
    Vous calculez le trinôme T(X) et selon ce qui à été indiqué pour n'importe quel entier Q ,
    vous êtes capable de donner les deux décompositions en somme de carrés.sans tatonnement.

    courtoisement

    Serge donnet
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