Nombre de diviseurs

Paul Crion · May 2017

Bonjour,
je souhaiterais savoir s'il existe des méthodes pour trouver la fréquence du nombres de diviseurs sur une plage donnée d'entiers.
Je prends un exemple, trouver entre M et N entiers avec N>M, le nombre d'entiers qui ont 2 diviseurs, 3 diviseurs, 4 diviseurs...etc.
Je connais la méthode pour trouver le nombre de diviseurs d'un entier, mais j'aurais besoin de formule sur les très grands nombres, du genre 10^62 , et des plages de 10^33 (j'ai oublié comment on insère des textes mathématiques dans le Forum...) entre de tels grands nombres.
Je ne cherche pas le nombre moyen de diviseurs, je sais sur ce thème que des formules existent.
Si il n'y a pas de formules pour quantifier ce genre d'information sur le nombre de diviseurs,
existe-t-il des tables utilisables avec Mathématica (seul logiciel de calcul à ma disposition) ou un tableur donnant le nombre de diviseurs pour de très grand nombres...
J'ai réalisé un programme et j'ai obtenu des informations jusqu'à 1 000 000 000 mais après l'ordinateur chauffe un peu...
Merci d'avance pour toute aide sur ce sujet.

Tonm · May 2017

Critère de divisibilité par ex. $2$, $3$, $5$, $7$... ça répond à la question?

Edit ce n'est pas cela.

Romyna · May 2017

Il y a un théorème sur la quantité de diviseurs d'un nombre qui est égal au produit des puissances de chacun de ses facteurs premiers accrue de 1.

$N= A^a*B^b*C^c...$ alors $\tau (N)= (a+1)*(b+1)*(c+1)*...$

C'est en considérant la factorisation première du nombre. Sinon, des encadrements existent pour les grands nombres tel celui-ci : $\tau(N) < 2 \sqrt(N)$

noix de totos · May 2017

Il n'y a pas de formule "close" pour le nombre de diviseurs $\tau(n)$ de $n$ (mis à part peut-être quelques identités folkloriques qui pourraient exister mais dont l'intérêt pratique serait nul).

Pour $n$ assez grand, l'ordre moyen est un bon indicateur.

En ce qui concerne des majorations explicites, outre celle citée ci-dessus, on a plus généralement pour $n \geqslant 3$
$$\tau(n) \leqslant n^{\frac{1,5379 \times \log 2}{\log\log n}}.$$
Par exemple, cette borne donne $\tau \left( 10^{62} \right) \leqslant 2,09776 \times 10^{13}$.

Paul Crion · May 2017

Bonjour,
merci pour vos réponses.
Pour le nombre de diviseurs, je cherche des réponses du genre "le pourcentage d'entiers possédant 8 diviseurs est par exemple 25 % sur une plage de 10^33 (c'est à dire pour des entiers variant de n à n+10^33", en effet dans mes simulations je suis arrivé à 22% pour des valeurs de n variant de 2 à 1000 000 000...mais je suis encore loin de 10^33...et surtout je ne sais pas si ce 22 % est lié à la plage particulière 2->1 000 000 000.
Les majorations que j'ai trouvé sur internet ou celles proposées dans vos réponses vont peut être me donner une idée de calcul...ou pas...je crois qu'il va falloir que je calcule le temps de calcul pour les grands entiers pour les factoriser car avec un 10^33, il faudra sûrement un bout de temps ou pas, si certains sont des as dans le calcul des temps de calcul, je suis preneur, à la fac j'étais nul dans ce genre d'estimation...je serais étonné d'y arriver maintenant.
Merci pour toute réponse.

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