Question sur les solutions de $\zeta(s)=1$
dans Arithmétique
Bonjour,
On sait d'après Titchmarsh que l'équation $\zeta(s)=1$ a des solutions dans le demi-plan complexe $\Re z\geq1$. Quelqu'un connait-il une éventuelle borne supérieure des parties réelles de ces solutions ? Merci.
On sait d'après Titchmarsh que l'équation $\zeta(s)=1$ a des solutions dans le demi-plan complexe $\Re z\geq1$. Quelqu'un connait-il une éventuelle borne supérieure des parties réelles de ces solutions ? Merci.
Réponses
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Le produit eulérien n'aide pas à y voir plus clair ? En plus on a $|\zeta(s)| \leq \zeta(\sigma)$ qui est décroissante en $\sigma$ pour $\sigma > 1$. ($s=\sigma + it$ comme d'habitude)
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Possible. J'ai comme l'impression que $\zeta(z)=1$ n'a pas de solution pour $\Re z>2$. Ce que je voudrai savoir c'est s'il existe une méthode pour avoir $r_0=\min{r>1}$ tel que $\zeta(z)=1$ n'a pas de solution pour $\Re z>r$. M'est avis que $1.5<r_0<2$...au jugé.
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Si on pose une question sur zêta, faut-il que ce soit dans le sous-forum "arithmétique" ? Car ici il n'y a visiblement pas trop de théoriciens des nombres. Ce problème doit avoir été étudié quelque part vu cette thèse récente où il est question de "a-points near the critical line" (un "a-point" est une solution de $\zeta(z)=a$).
[Je déplace ta discussion en "Arithmétique". AD] -
Bonsoir Breyer,
Voici un article qui traite de ta question (Theorem 4.1) : https://arxiv.org/pdf/1107.5134.pdf -
Grand merci Siméon, quel coup d’œil!
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Un beau coup de chance surtout ! Je suis tombé sur cet article par hasard en cherchant des références pour faire le calcul moi-même.
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Bonsoir, je m'interroge sur les zéros de Riemann et sur la fascination des mathématiciens sur cette fonction.
- Wiki écrit : En fait, la position des zéros de la fonction de Riemann fournit la position des nombres premiers. On peut même trouver une formule exprimant chaque nombre premier en fonction des zéros de la fonction de Riemann. Vrai ? https://goo.gl/P5WPzt
Quelle est cette formule ? -
Abstract a écrit:On peut même trouver une formule exprimant chaque nombre premier en fonction des zéros de la fonction de Riemann
Facile. On sait qu'il existe une infinité de zéros de $\zeta$ sur la droite critique. Ces zéros sont isolés donc il y en a un nombre dénombrable. On peut les ordonner en considérant leur partie imaginaire.
Ce qui fait qu'on peut associer le nombre premier $p$ au $p-ème$ zéro de $\zeta$ sur la droite critique. B-)- -
Merci pour ta réponse. Pourrais- tu me donner un exemple ? Voilà une table approximative des parties réelles :
http://www.dtc.umn.edu/~Odlyzko/zeta_tables/zeros1 -
bonsoir
abstract propose une limite (égale à 1/2) à la série alternée des images par Zéta des nombres entiers,
en fait la limite existe en effet, elle est égale à 1
on part du développement du logarithme népérien de $\Gamma (1+x)$ :
$ln\Gamma(1+x) = - \gamma.x + \frac{x^2}{2}Z(2) - \frac{x^3}{3}Z(3) + \frac{x^4}{4}Z(4) - .......$ avec x > 0
il suffit de dériver et pour x = 1 il vient la série :
$\frac{\Gamma'(2)}{\Gamma(2)} + \gamma = Z(2) - Z(3) + Z(4) - Z(5) + ........$
sachant que $\Gamma'(2) = 1 - \gamma$ et $\Gamma(2) = 1$ il vient le résultat de la série alternée
dont la convergence est ondulatoire et encadrée (puisque Zéta(n) tend vers 1)
cordialement -
Merci. Reste que wolfram pour n=10000 refuse d'obtempérer
sum_(n=1)^10000zeta(2 n) approx 10000.75000000
sum_(n=1)^10000zeta(2n+1) approx10000.250000000
Une singularité entre arithmétique et géométrie ? -
La limite est bien $\dfrac12$.
Pour le démontrer il suffit de remplacer $\zeta$ par sa définition, de permuter les sigma et de savoir calculer une somme partielle d'une série géométrique. -
FdP a écrit:Ces zéros sont isolés donc il y en a un nombre dénombrable. On peut les ordonner en considérant leur partie imaginaire.
:-D, attention quand-même, ce n'est pas parce qu'une partie dénombrable de $\R$ ne contient que des points isolés qu'elle est bien ordonnée par l'ordre usuel, loin de là, et ta phrase est ambigue parce que comme tu ajoutes "en prenant leur partie imaginaire" (on s'en doutait), donc que tu uses 5 mots pour préciser ça, ça peut sous-entendre que le bon ordre (évoqué avec moins de mots) est encore plus trivial à trouver (ce qui n'est pas du coup le cas), et interpréter donc en pensant que tu proposes de prendre l'ordre usuel.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Christophe:
Si $z,z'$ sont sur la droite critique on peut définir la relation d'ordre $z\geq z'$ si et seulement si $\text{Im}(z)\geq \text{Im}(z')$
Je ne vois pas le problème.
Le problème est qu'il y a une infinité non dénombrable d'éléments sur cette droite mais on s'intéresse seulement aux zéros de $\zeta$ sur cette droite et eux, puisque $\zeta$ est une fonction holomorphe dans un voisinage de cette droite, sont bien au plus dénombrables. Mais on sait qu'il y a une infinité de zéros sur cette droite, résultat démontré par G.H Hardy vers 1915.
La suite donnée par Abstract numériquement tend bien vers 1/2 -
Merci beaucoup pour ces précisions concernant la limite 1/2 ; passer la limite, ce serait aussi "changer de concept".
Je me demande si, tout comme en physique, l'observateur n'y joue pas un rôle fondamental avec sa raison, sont sens inné du dénombrement, son corps avec lequel il interprète l'information.
Autre exemple où nous avons donné des lettres plutôt que des chiffres :
f(n+2)=f(n+1)/n+f(n) -> 2n/f(n)² = pi https://goo.gl/RVFSDX
f(n+2)=f(n+1)+f(n)/n -> n/f(n) = e https://goo.gl/RVFSDX
f(n+2)=f(n+1)+f(n ) -> f(n+1)/f(n) = phi
Je crains que l'assertion de wiki soit trop circonscrite pour être vraie. Il semblerait que les zéros de la droite critique aient un aspect spectral :
"Plus récemment, un physicien E.Wigner a modélisé les niveaux d'énergie des systèmes atomiques. Cette proposition qui lie les valeurs propres de zeta(s) aux niveaux quantiques des systèmes atomiques est désormais connue sous le nom de la loi empirique dite de: Montgomery-Odlyzko."
( Alannaria sur http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,1188201,1188201,quote=1 ) -
De mon téléphone à fdp: relis bien mon post et tu verras le problème. L'isolement et le dénombrabilité des éléments NE SUFFISENT PAS pour dire "on peut donc les prendre dans l'ordre où ils viennent pour les bijecter avec IN" comme tu SEMBLES avoir sous-entendu (sauf erreur sur mon interprétation du sous entendu que je mets dans ta bouche)Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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@christophe : L'ensemble des zéros d'une fonction continue a une légère tendance à être fermé. FdP aurait mieux fait de le mentionner.
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Christophe C:
On compare deux points de la droite critique (qui est parallèle à l'axe des ordonnées du repère) en comparant leur parties imaginaires, c'est ce que je dis depuis le début et je ne vois toujours pas le problème à faire ça. Je ne dis rien d'autre. -
GaBuZoMeu :
Sauf erreur de ma part, il y a un résultat d'analyse complexe qui affirme que les zéros d'une fonction holomorphe sont isolés. Ce qui veut dire, toujours sauf erreur, que si on prend l'intersection d'un compact de $\mathbb{C}$ avec l'ouvert de $\mathbb{C}$ où est définit cette fonction holomorphe alors elle contient un nombre fini de zéros de cette fonction (éventuellement aucun). -
De mon téléphone qui m'affiche "matherror" à tous les latex. A GBZM: oui!! A fdp: tu donnes l'impression d'affirmer que toute partie de IR^+ dont tous les points sont isolés est isomorphe à IN en tant qu'ordonnee par l'ordre usuel.
Mais tu as peut être corrige je ne vois pas les parties latex.
@GBZM: la fermeture améliore la situation mais pas jusqu'à offrir l'isomorphisme avec IN. Mais je comprends que tu aies signalé ce point important.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
FdP, tous les points de l'ensemble $X=\{1/n\mid n\in \N\setminus\{0\}\}\subset \R$ sont isolés dans $X$. Ce n'est pas pour cela que l'intersection de $X$ avec le compact $[0,1]$ est finie. Le problème, c'est que $X$ n'est pas fermé dans $\R$.
Je répète que tu aurais mieux fait de préciser que l'ensemble des zéros de $\zeta$ sur la droite critique est fermé.
@Christophe : tu n'es pas d'accord qu'un sous-ensemble fermé discret infini de $[0,+\infty[$ est isomorphe à $\N$ comme ensemble ordonné ? -
Pardon si si bien sur la fermeture suffit pour les parties de IR ^ PLUS!!Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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J'ai poste avant de t'avoir lu mais oui je suis bien sur d'accord!!! Je suis dans un bar bruyant des le matin :-D et ne me rappelais pas que j'avais écrit ^ PLUS.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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HS : bruyant mais la musique est sacrement bonne !! (étonnant vues mes chastes oreilles)Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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De retour sur un pc, je peux utiliser latex et voir le latex des autres.
@FdP, voici un exemple de ce que tu aurais pu écrire: << les zéros de Zeta dont l'abscisse est $a$ et dont l'ordonnée est positive ou nulle ont leurs ordonnées qui forment une partie de $\R^+$ qui d'une part est fermée et d'autre part a tous ses points isolés. Une telle partie est forcément isomorphe à $(\N,\leq)$ en tant que qu'ordonnée par l'ordre usuel de $\R^+$>>
Aucun des ingrédients présents et admis dans ce passage ne sont triviaux pour des personnes par exemple qui "ne font que de l'arithmétique", mais pas d'analyse ou de topologie, et il en existe dans la mesure où l'arithmétique est souvent visitée pour toute une ribambelle de publics divers.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Christophe, n'as-tu pas l'impression d'être un peu relou, parfois ? ;-)
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De mon téléphone : oups pardon "isomorphe à IN ou un segment initial de IN". Je suis un peu pressé ces temps ci je bâclé tout.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Pour en revenir à zeta ][ pi, on peut voir dans le fichier joint ce qui se passe (fichier excel téléchargeable https://goo.gl/FJyXCQ)
(ajout : en fait je m'aperçois que ce fichier est une redite) -
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Autres valeurs remarquables :
https://goo.gl/KY1rhV ou https://goo.gl/hsBRYv
https://goo.gl/xXNqJC
et pour
(a)²-(ib)²= 2, exemple avec n=7
https://goo.gl/2B68DG , alors https://goo.gl/gPaKLk -
rectification (a)²-(ib)² = 2 et non (a²+(ib))² = - 2
En fait avec a=1/2, quelque soit la valeur de b on a (a)²-(ib)² = 2,
puisque 2^(1/2 + i*x) = 2^(1/2)*2^(i*x) = sqrt(2) cos(x log(2)) + i sqrt(2) sin(x log(2))
alors (sqrt(2)cos(x log(2)))² - (i sqrt(2)sin(x log(2)))² = 2
D'autre part il est facile de trouver des limites comme ces poupées russes où le résultat devient très vite stable
avec une valeur de -0.248839 https://goo.gl/MSdjEN
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Bonjour!
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