$\zeta(-1)=-$1/12

On aussi des choses bizarres mais bien connues, dues à Euler : https://mathinfo.unistra.fr/fileadmin/upload/IREM/Publications/L_Ouvert/n031/o_31_15-25.pdf

Bonjour @Light*,

Je ne sais pas si ça aide, mais voici une histoire à la physicienne pour comprendre ce genre de truc.

On a une variable $x$ varie dans $\displaystyle [0, +\infty[$ et on cherche une fonction de cette variable. Cette fonction est en fait très simple, par exemple, $\displaystyle x \mapsto {1 \over 1-x}$, mais on ne le sait pas : c'est pour cela qu'on la cherche.
Quand on écrit les équations de la physique, on tombe comme toujours sur des trucs qu'on ne sait pas résoudre. Alors, dans un cas particulier, on développe pour $x$ petit à différents ordres. A l'ordre $0$, on trouve $1$, à l'ordre $1$, on trouve $\displaystyle 1+x$, à l'ordre $2$, le professeur en fac trouve $\displaystyle 1+x+x^2$, à l'ordre $3$, des doctorants cherchent encore...

Et là, on suppose à la physicienne que la réponse est $\displaystyle \sum_{k \geq 0} x^k.$
Les mathématiciens avertissent : le rayon de convergence de cette série est strictement inférieur à $1$ et donc on a : $\displaystyle \sum_{k \geq 0} x^k, |x|<1.$
Le physicien pense : quelle connerie de limiter le rayon de convergence à $1$, la fonction $f$ en question est définie pour tout $x \geq 0$ - pour des raisons physiques évidentes.
Alors le physicien écrit : on a suffisamment d'évidence pour considérer que $\displaystyle f(x) = \sum_{k \geq 0} x^k = {1 \over 1-x}, |x|<1$ puis réalise que la condition $\displaystyle |x|<1$ n'est pas nécessaire pour définir la fonction $\displaystyle x \mapsto {1 \over 1-x}$, et alors, pour $\displaystyle x=2$ (la valeur cruciale en physique dans ce cas), $\displaystyle {1 \over 1-x}=-1, x=2.$ Le physicien a trouvé le résultat (correct), même si formellement, il a écrit : $\displaystyle \sum_{k \geq 0} 2^k = -1.$ Le physicien remarque aussi qu'aux différents ordres, les réponses étaient $1, 3, 7, 15$ alors que le bon résultat final est $-1.$

Tout l'art est donc de transformer la série divergente (dont on ne connaît que l'ordre $3$ bien souvent) en une limite finie qui est la réponse physique. On part de cas simples où l'on sait construire les différents ordres et où l'on connaît la réponse, et on développe des "techniques" - certaines très connes, certaines très sophistiquées et mathématiquement compliquées - pour obtenir "la" bonne réponse. On connaît des exemples célèbres où ça marche bien, et aussi des exemples où l'on a toujours pas trouvé de méthode satisfaisante.

Enfin, à partir que $1+x+x^2$ une autre équipe de physiciens, justifie la fonction $\displaystyle x \mapsto 3-2 \cos x + \sin x = 1+x+x^2 + o(x^2)$ grâce à leur théorie révolutionnaire et conclut que la réponse physique est $\displaystyle 3-2 \cos x + \sin x \sim 4.74, x=2.$ On attend l'ordre $4$ des doctorants pour y voir plus clairs... ou pas.

Bilan : lorsqu'on développe à différents ordres, et on y est obligé parce qu'il n'y a pas de solutions exactes, on tombe parfois sur des séries divergentes. Au lieu de jeter ces résultats, on se dit qu'ils contiennent de l'information sur les réponses du système. On se débrouille alors, plus ou moins intelligemment, pour extraire cette information. C'est une belle idée. De vraies mathématiques et de la vraie physique en bénéficient...