Définitions des nombres premiers et 0.
dans Arithmétique
Bonjour,
Depuis que je fais des maths la notion de nombre premier est omniprésente mais on lui donne qu'une seule définition i.e. divisible uniquement pas lui même son opposé et les unités -1 et 1.
Cependant il y a plein de petits hics qui réduisent selon moi la beauté du truc par exemple tout entier est décomposable en produit de nombres premiers et d'une unité sauf 0.
Donc il y a toujours ce zéro qui pose problème, mais si on définissait autrement les nombres premiers i.e. Z/(p) intègre où Z c'est l'anneau des entiers relatifs et (p) l'idéal engendré par l'élément p. Tout le monde sait alors que tout nombre premier basique càd un irréductible vérifie cette propriété mais en plus comme Z est intègre 0 la vérifie aussi.
Et donc on peut même prouver que si p vérifie cette proposition p est soit irréductible soit nul. Car Z est principal.
Et bAh du coup le théorème fondamental de l'arithmétique est plus beau tout élément de Z se décompose en facteurs premiers et en unité point. Pas d'exception. Et la décomposition de 0 est 0.1 bêtement.
Qu'en pensez-vous ? Et puis surtout je viens surtout de l'algèbre il y a peut être d'autres raison plus profondes (ou plus simple que j'ai complètement zappées ^^) pour que 0 ne soit définitivement pas premier quelque soit la définition.
Depuis que je fais des maths la notion de nombre premier est omniprésente mais on lui donne qu'une seule définition i.e. divisible uniquement pas lui même son opposé et les unités -1 et 1.
Cependant il y a plein de petits hics qui réduisent selon moi la beauté du truc par exemple tout entier est décomposable en produit de nombres premiers et d'une unité sauf 0.
Donc il y a toujours ce zéro qui pose problème, mais si on définissait autrement les nombres premiers i.e. Z/(p) intègre où Z c'est l'anneau des entiers relatifs et (p) l'idéal engendré par l'élément p. Tout le monde sait alors que tout nombre premier basique càd un irréductible vérifie cette propriété mais en plus comme Z est intègre 0 la vérifie aussi.
Et donc on peut même prouver que si p vérifie cette proposition p est soit irréductible soit nul. Car Z est principal.
Et bAh du coup le théorème fondamental de l'arithmétique est plus beau tout élément de Z se décompose en facteurs premiers et en unité point. Pas d'exception. Et la décomposition de 0 est 0.1 bêtement.
Qu'en pensez-vous ? Et puis surtout je viens surtout de l'algèbre il y a peut être d'autres raison plus profondes (ou plus simple que j'ai complètement zappées ^^) pour que 0 ne soit définitivement pas premier quelque soit la définition.
Réponses
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bonjour
un nombre premier doit être divisible par lui-même et le quotient doit donner 1
0/0 n'existe pas, ou tout au moins est une forme indéterminée donc le chiffre zéro n'est pas premier
que chercher d'autre ? (indiquer que zéro est un chiffre pair n'est pas nécessaire)
cordialement -
Un entier naturel est premier si le nombre de ses diviseurs est
(1) un dans $\{2, 3, 4, ...\}$
(2) deux dans $\{1, 2, 3, 4, ...\}$
(3) quatre dans $\mathbb{Z}$
au choix. -
Ottman a écrit:Qu'en pensez-vous ?
Pourquoi pas ? Tu évites ainsi un certain nombre de restrictions que tu trouves désagréables dans certains énoncés. Mais malheureusement tu perds (entre autres) un énoncé qui pourra, et à juste titre, être vu comme essentiel : l'unicité de la décomposition en facteurs premiers. -
@Nîmes-man a, à mon sens, trouvé la raison pour laquelle on ne définit pas $0$ comme premier, similairement à $1$ ($\mathbb{Z}/\mathbb{Z}$ est l'anneau trivial, il n'a pas de diviseurs de $0$, et donc il est intègre), c'est parce qu'on perd l'unicité : $0= 0×2= 0×2×3×4$ etc.
D'ailleus, si tu regardes un anneau $R$ commutatif quelconque, et $I$ un idéal, $R/I$ est intègre si et seulement si $I$ est premier. Il est intègre non trivial si et seulement si $I$est un idéal premier propre, et d'ailleurs beaucoup d'auteurs définissent "idéal premier" comme un idéal propre qui vérifie cettaines conditions. C'est pour éviter les cas triviaux et qui diminuent dans certains cas la force de théorèmes qu'on impose cette distinction.
En prenant $0$, le théorème fondamental s'écrirait "Tout nombre entier sauf $0$ s'écrit blabla; et $0=0$" -
Dans $\mathbb Z$, quelle est la décomposition de $1$ ?
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$$1 = \prod_{p \in \emptyset} p$$
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Bien joué !
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Un point de vue :
Le cadre où l'on travaille est l'ensemble $X$ des entiers $\geq2$.
Une factorisation de $n\in X$ est une écriture
$$
n=\prod_{i=1}^k\,m_i \qquad \text{où} \quad m_i\in X \quad\text{pour tout $i$}
$$
$k$ est la longueur de la factorisation.
Proposition : L'ensemble des longueurs des factorisations de $n$ est majoré.
Proposition : $n$ possède une unique factorisation de longueur maximale.
Définition : Les nombres qui apparaissent dans une factorisation maximale sont dits premiers.
Proposition : Un nombre premier a une unique factorisation, qui est de longueur 1.
Exeunt 0, 1 et les entiers négatifs. -
On peut prolonger ce qui précède à $\mathbb{Z}$ en exigeant qu'une factorisation comporte au plus un facteur négatif qui est alors $=-1$.
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C'est faux, la définition d'anneau intègre inclut l'axiome $0\neq 1$ (comme celle de corps).$\mathbb Z/\mathbb Z$ est l'anneau trivial, il n'a pas de diviseurs de $0$, et donc il est intègre -
Quel est l'axiome de corps autre que $0\neq 1$ qui est violé par l'anneau trivial ?
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GaBuZoMeu a écrit:C'est faux, la définition d'anneau intègre inclut l'axiome $0\neq 1$ (comme celle de corps).
Peut-être pourrais-tu plus justement écrire "la bonne définition d'anneau intègre".
Contrairement à ce qu'on observe pour les nombres premiers, la définition d'anneau intègre peut varier d'une référence à l'autre, même si celles qui excluent l'anneau nul sont (et tant mieux) plus fréquentes. -
Je ne connais pas de référence sérieuse pour laquelle l'anneau trivial est intègre. Mais je ne connais pas tout !
-
Bonjour
ceci dit je me trompe souvent en maths mais je dirai
$0\neq 1$ est conséquence de unitaire
unitaire et intègre sont deux axiomes différents
l'intégrité d'un anneau constitue un axiome qui n'impose pas que $1\neq 0$
mais impose juste que pour la seconde loi
ab=0 si a=0 ou b=0 donc
1.1=0 reste valable si 1=0
et si on n'impose pas à un anneau qu'il soit unitaire alors il est possible que pour la première loi
0+0=0 et .0+1=0 et 0=1 la régularité (ici à gauche)du groupe + sera respectée
et on ne pourra pas dire que la loi + possède deux éléments neutres
mais un seul puisque 1=0 n'est pas interdit par l'axiome "integre"
et comme on ne voit jamais d'axiomes imposants une quantité d'éléments
dans ce cas rien interdit de dire 0=1 et avec 0 dans A et 1 dans A
A trivial -
Tu racontes n'importe quoi, fluorhydrique.
"Unitaire" n'entraîne bien sûr pas $0\neq 1$, et $0\neq 1$ fait partie des axiomes d'anneau intègre. -
Bonjour GBZMTu racontes n'importe quoi, fluorhydrique.
unitaire impose 1 est élément neutre de .
(et comme 0 est neutre de +) -
Et $1$ élément neutre pour la multiplication n'entraîne bien sûr pas $0\neq 1$. Je confirme, tu racontes n'importe quoi.
-
Bonjour GBZM
pourtant j'ai sur papier la démo que deux lois de composition internes et . distributive par rapport à + possédant chacune un élément neutre ne peuvent avoir le même élément neutre
du coup si 0 est neutre de +
1 neutre de .
$1\neq 0$
je vais refaire mon papier sinon -
Ta démonstration est erronée.
-
je vais la refaire
merci -
oui Poirot
j'ai pas vu la connerie
en fait je voulais avoir mon intuition exacte et l'ai écrit -
À ce sujet, quelqu'un sait-il pourquoi on a défini la caractéristique d'un corps dans lequel $1$ n'est pas d'ordre fini pour $+$ comme $0$ (et pas $\infty$ par exemple) ?
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Je me réponds à moi-même: la caractéristique de $K$ est l'unique générateur positif du noyau de l'unique morphisme d'anneaux de $\mathbb Z$ vers $K$.
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La caractéristique d'un corps $k$ est l'entier naturel $n$ tel que $k$ contient (un sous-anneau isomorphe à) $\Z/n\Z$.
-
Est-ce une propriété ou une définition (même si la réponse est "c'est comme on veut") ?
Aussi, pour un anneau cela devient faux, n'est-ce pas ?
Je pense à Z/12Z qui contient {0;6} vu comme Z/2Z.
Mais je m'embrouille certainement.
Edit : ha oui, en plus on ne peut pas le voir comme Z/2Z... -
Dom, un sous-anneau contient l'élément neutre pour la multiplication !
-
Oui, c'est le "isomorphe à" qui est ambiguë non ?
Comme si on pouvait rebaptiser le 1. -
Non, ça n'a rien d'ambigu, c'est juste que tu ne comprends pas bien. ;-)
Un sous-anneau contient l'élément neutre de la multiplication. Et un isomorphisme préserve l'élément neutre de la multiplication. -
La caractéristique d'un anneau commutatif $A$ est le plus petit entier $n$ tel que $n.1_A=0_A$.
Le plus petit pour la divisibilité, bien sûr, et non pas quelque autre relation d'ordre farfelue comme $\leq$. -
Ok. En effet, l'expression "contient un sous-anneau" dit bien que l'on garde le 0 et le 1.
Merci, merci :-)
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Bonjour!
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