Formule de trigonométrie (approximative)

bonsoir

l'affirmation de Wolfram telle qu'elle est rapportée par Fin de partie est tout-à-fait abusive ; on considère
$$tan\frac{\pi}{18} = \frac{1}{sin\frac{\pi}{9}} - \frac{1}{tan\frac{\pi}{9}}$$
or $sin\frac{\pi}{9}$ ne s'exprime pas à l'aide de radicaux ni $tan\frac{\pi}{9}$
on voit mal dans ces conditions $tan\frac{\pi}{18}$ s'exprimer avec des radicaux

mais on peut aussi démontrer directement cette impossibilité :

considérons donc l'équation du sixième degré suggérée par Wolfram : $3x^6 - 27x^4 + 33x^2 - 1 = 0$
dont $tan\frac{\pi}{18}$ semble effectivement être une racine

on pose $x^2 = u$ et on divise chaque monôme par 3, il vient :

$u^3 - 9u^2 + 11u - 1/3 = 0$ soit encore en posant u - 3 = t

$t^3 - 16t - 64/3 = 0$ équation réduite du troisième degré avec p = - 16 et q = - 64/3

le discriminant de cette équation du troisième degré est $\Delta = q² + \frac{4}{27}p^3$ soit ici :

$\Delta = (\frac{64}{3})^2 - \frac{4}{27}(16)^3$ soit encore $\Delta = - \frac{4096}{27}$

le discriminant étant négatif, t et donc u et donc x ne s'expriment pas avec des radicaux

cordialement