isomorphisme de corps

courage
courage
dans Arithmétique
Bonsoir,

si $\phi$ : $\Q_p$ ---> $\Q_l$ est un isomorphisme de corps alors $\phi$ fixe nécessairement $\Q$
Si quelqu'un pourrait me dire qu'est ce que cela veut dire ? ( $\phi$ fixe nécessairement $\Q$ ? )
Merci

Réponses

  • paf
    paf
    Bonsoir,
    Cela signifie que $\phi$ fixe chaque nombre rationnel ou est l'identité après restriction à $\mathbb Q$ ($\mathbb Q$ est un corps premier, c'est un fait général simplement parce que c'est le plus petit sous-corps d'un corps de caractéristique 0, i.e. le sous-corps engendré par 1).
  • courage
    courage
    Vraiment j'ai rien compris ! peux tu expliquer d'une façon plus facile ?
    $\phi$ fixe $\Q$ veut dire que $\forall x \in \Q$ alors $\phi(x) \in \Q$ ? c'est pas ça ?
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    paf te dit que, pour tout $x\in \Q$, $\phi(x)=x$.
  • Poirot
    Poirot
    On a $\varphi(1) = 1$, par récurrence $\varphi(n)=n$ pour tout $n \in \mathbb Z$ en utilisant l'additivité, puis $\varphi \left( \frac{a}{b} \right) = \frac{a}{b}$ de la même manière.
  • courage
    courage
    On a donc utilisé ici la définition d'un isomorphisme de corps( c'est une nouvelle notion pour moi) :
    c'est à dire : $\forall x ,y \in \Q_p$ on a , $\phi(x+y) = \phi(x) + \phi(y)$ et $\phi(1)=1$ et ceci donne $\phi(x)=x$ $\forall x \in \Q_p$ et pas $\Q$ ?
  • claude quitté
    claude quitté
    @Poirot
    Je ne suis pas d'accord : il faut montrer que $\phi(x) = x$ pour tout $x \in \Q$ et toi tu as montré $\varphi(x) = x$ pour tout $x \in \Q$.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    @courage : ce que tu écris ne va pas du tout. D'abord, tu oublies qu'un isomorphisme doit être compatible avec la multiplication, et ensuite, si le seul automorphisme de $\Q_p$ était l'identité, ça se saurait !
    Edit : Eh bien ça se sait. Au temps pour moi !
  • Poirot
    Poirot
    @Claude : je me suis laissé emporter, je préfère $\varphi$ à $\phi$ :-D
  • Dom
    Dom
    Faisons $fi$ de tout cela.
  • courage
    courage
    @Poirot
    Où est-ce que tu as utilisé le fait que $\phi$ est bijective ? Car le fait que $\phi(x) = x, \ \forall x \in \Q $ utilise juste deux conditions : $\phi(1) = 1$ et $\phi(a+b) = \phi(a)+\phi(b),\ \forall a , b \in \Q$
  • Maxtimax
    Maxtimax
    @courage: l'hypothèse de bijectivité n'est pas nécessaire ici: si $K,L$ sont deux corps et si $\phi: K\to L$ est un morphisme de corps, et si $K,L$ ont pour sous-corps premier $F$, alors $\phi$ fixe $F$ (en supposant $F\subset K\cap L$) . Ici, le sous-corps premier de $\Q_p$ est $\Q$ et donc tout morphisme de corps de domaine $\Q_p$ fixe $\Q$
  • courage
    courage
    C'est bien clair . Merci Maxtimax
  • Poirot
    Poirot
    Un morphisme de corps fixe toujours les sous-corps premiers.
  • Lio
    Lio
    @GaBuZoMeu: le seul automorphisme de $\Q_p$ est l'identité! autrement dit, tout automorphisme de corps de $\Q_p$ est continu.
  • claude quitté
    claude quitté
    A propos du dernier post : http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/gradnumthy/autRandQp.pdf
  • courage
    courage
    Bonjour,
    j'ai un probléme à comprendre comment montrer la continuité d'un endomorphisme de corps $\Q_p$, veuillez m'aider s'il vous plait .
    On veut démontrer que " le seul endomorphisme de corps $\phi$ : $\Q_p$ ----> $\Q_p$ est l'identité "
    On a $\Q$ est dense dans $\Q_p$ et $\phi$ fixe $\Q$ , donc li reste à montrer que $\phi$ est continue par rapport à la topologie p-adique .
    La démonstration que j'ai trouvé utilse le lemme suivant :

    $\bullet$ lemme :
    Si $u \in \Z_p$ est un élément non nul , alors $u$ est une unité si et seulement si il existe une infinité de $n \in \N$ tels que $u^{p-1}$ est une puissance $n$-éme dans $\Q_p$ .

    $\bullet$ Démonstration de continuité de $\phi$ :
    il suffit de montrer que $\phi$ est continue en 0 ou encore que pour tout $x \in \Q_p \quad v_p(x) = v_p(\phi(x))$. Montrons d'abord que $\phi$ fixe les unités ,en effet :
    Si $u$ est une unité alors il existe par le lemme précédent une infinité de $n \in \N$ tels qu'il existe $\alpha_n \in \Q_p \qquad u^{p-1} = \alpha_n^n$ et donc $\phi(u)$ est aussi une $n$-éme puissance dans $\Q_p$ car $$\phi(u^{p-1}) = \phi(\alpha_n^n) = (\phi(\alpha))^n$$ et donc $\phi(u) $ est une unité .Remarquons maintenant que l'uniformisante $p \in \Q$ est fixée par $\phi$ ,donc tout $x \in \Q_p$ s'écrit $ x = p^n\,u$ avec $u$ est une unité et $v_p(\phi(x)) = v_p(\phi(p^n\,u)) = v_p(p^n \, \phi(u))$ donc $\phi$ est bien continue .


    1) C'est quoi la définition de continuité pour la topologie p-adique ? est ce que c'est comme ca : la limite de $|\phi(x) - \phi(x_0)|_p$ = 0 quand $x $tends vers $x_0$ ?

    2) Pourquoi la continuité en 0 est équivaut à montrer que $x \in \Q_p \quad v_p(x) = v_p(\phi(x))$ ?

    3)Pourqoi l'uniformisante p est fixée par $\phi$ ?

    Merci d'avance.
  • Poirot
    Poirot
    1) Tu as un brave espace métrique, la continuité est définie de manière usuelle avec les epsilon tout ça. Donc en effet la continuité en $x_0$ se traduit par le fait que $|\phi(x) - \phi(x_0)|_p$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $x_0$.

    2) Ils ne disent pas que ça équivaut, mais qu'il suffit de montrer ça. Et c'est le cas parce que la norme est donnée par la valuation $p$-adique. Donc si $v_p(\phi(x)) = v_p(x)$ alors $\phi(x) \to 0$ quand $x \to 0$ (ce qui est équivalent à $v_p(\phi(x)) \to +\infty)$. Ensuite, comme toute application linéaire, elle est continue si et seulement si elle est continue en $0$.

    3) Car $p \in \mathbb Z$...
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