élément unité de $\Z_p$

courage · June 2017

Bonjour,
J'étais entraine de lire une démonstration mais je suis bloquée dans quelques passages , veuillez m'aider s'il vous plait .

1) Si $u \in \Z_p$ non nul et $v_p(u)$ est divisible par une infinité d'entiers n alors nécessairement $v_p(u) = 0$ . Pourquoi ?

2) Si $u\in \Q_p$ est une unité (donc sa réduction dans $\mathbb{F}_p$ est non nulle ) alors $u^{p-1} \cong 1 \pmod{p}$.
Pourquoi $u^{p-1} \cong 1 \pmod{p}$ ? et ça signifie quoi le symbole $\cong$ ?

3)Pour un nombre premier fixé , on peut toujours touver une infinité d'entiers qui ne sont pas divisibles par p .Est ce ça est juste ?
Merci d'avance .

flipflop · June 2017

Salut,

1/ Si $v_p(u)$ est un entier non nul, dans $\Z$, tu as la propriété suivante : si $d \mid v_p(u)$ alors $\mid d \mid \leq \mid v_p(u) \mid$ ainsi le nombre de diviseur de $v_p(u)$ est majoré par $2 \times \mid v_p(u) \mid +1$. (rien a voir avec les $p$-adiques).

2/ ton symbole signifie congru à ??? Peut-être ??? pour $u^{p-1} = 1 \pmod{p}$ c'est le théorème de Lagrange : le groupe multiplicatif $\mathbb{F}^\star$ est d'ordre $p-1$.

3/ Soit $p$ premier, alors il existe un nombre premier différent de $p$ : disons $\ell$ ... alors pour tout $n$, $\ell^n$ n'est pas divisible par $p$.

Poirot · June 2017

Si un entier est divisible par une infinité d'entiers c'est qu'il est nul...

Ton 2) n'a pas de sens. Dans $\mathbb Q_p$, tout élément non nul est inversible, et réduire modulo $p$ n'a pas de sens. Tu parles certainement d'une unité dans $\mathbb Z_p$, dans ce cas-là la réduction modulo $p$ a bien un sens, et ton symbole étrange signifie certainement une égalité modulo $p$ (je préfère utiliser le signe $=$). Et comme tout élément de $\mathbb F_p^*$, $x^{p-1}=1$, on a le résultat car les unités de $\mathbb Z_p$ sont exactement les éléments non divisibles par $p$, c'est-à-dire de réduction non nulle dans $\mathbb F_p$.

Enfin pour ta dernière question ce n'est pas bien sérieux d'étudier les corps $p$-adiques si tu ne sais pas y répondre !

élément unité de $\Z_p$

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