application du lemme de Hensel
dans Arithmétique
Bonjour,
J'ai besoin d'aide s'il vous plaît.
Théoréme : Soient $p \;\; et \;\; l$ deux nombres premiers .Alors, $$\Q_p \text{ et } \Q_l \text{ sont isomorphes } \Longleftrightarrow\ l = p$$
Preuve :
Supposons par absurde que $l \neq p$ et que $\Q_p$ et $\Q_l$ sont isomorphes, notons $\phi$ cet isomorphisme, alors l'application : $$
\begin{array}{ccccc}
\phi:& \Q_p[X] & \to & \Q_l[X] \\
& \sum a_k\,X^k & \mapsto & \sum \phi (a_k)\,X^k
\end{array}
$$ est un isomorphisme d'anneaux qui fixe les polynômes à coefficients dans $\Q$ .Puisque $p \neq l$, $p$ est inversible $\pmod{l}$ et nous pouvons choisir un entier $n$ tel que : $$
n \equiv 0 \pmod{p} \qquad\text{et} \qquad n \equiv 1 \pmod{l}
$$ Soit $$F(X) = X^2 + n\,X + p\,l$$ $F$ est irréductible dans $\Q_p[X]$ (par le critère d'Eisenstein). Par contre $F$ est réductible dans $\Q_l[X]$ ,en effet :
$F(X)$ se décompose en deux facteurs premiers entre eux dans $\mathbb{F}_l[X]$ : $$ \bar{F}(X) = X^2 + X = X\,(X + 1)$$ et d’après le lemme de Hensel, $F(X)$ est aussi réductible dans $\Q_l[X]$. Ainsi $\Q_p$ et $\Q_l$ ne peuvent être isomorphes si $ p \neq l$.
1) Où est-ce qu'on utilisé le fait que : $$
\begin{array}{ccccc}
phi:& \Q_p[X] & \to & \Q_l[X] \\
& \sum a_k\,X^k & \mapsto & \sum \phi (a_k)\,X^k
\end{array} $$
est un isomorphisme d'anneaux qui fixe les polynômes à coefficients dans $\Q$ ?
2) On a démontré qu'un sens. Est-ce que le sens inverse est évident ?
J'ai besoin d'aide s'il vous plaît.
Théoréme : Soient $p \;\; et \;\; l$ deux nombres premiers .Alors, $$\Q_p \text{ et } \Q_l \text{ sont isomorphes } \Longleftrightarrow\ l = p$$
Preuve :
Supposons par absurde que $l \neq p$ et que $\Q_p$ et $\Q_l$ sont isomorphes, notons $\phi$ cet isomorphisme, alors l'application : $$
\begin{array}{ccccc}
\phi:& \Q_p[X] & \to & \Q_l[X] \\
& \sum a_k\,X^k & \mapsto & \sum \phi (a_k)\,X^k
\end{array}
$$ est un isomorphisme d'anneaux qui fixe les polynômes à coefficients dans $\Q$ .Puisque $p \neq l$, $p$ est inversible $\pmod{l}$ et nous pouvons choisir un entier $n$ tel que : $$
n \equiv 0 \pmod{p} \qquad\text{et} \qquad n \equiv 1 \pmod{l}
$$ Soit $$F(X) = X^2 + n\,X + p\,l$$ $F$ est irréductible dans $\Q_p[X]$ (par le critère d'Eisenstein). Par contre $F$ est réductible dans $\Q_l[X]$ ,en effet :
$F(X)$ se décompose en deux facteurs premiers entre eux dans $\mathbb{F}_l[X]$ : $$ \bar{F}(X) = X^2 + X = X\,(X + 1)$$ et d’après le lemme de Hensel, $F(X)$ est aussi réductible dans $\Q_l[X]$. Ainsi $\Q_p$ et $\Q_l$ ne peuvent être isomorphes si $ p \neq l$.
1) Où est-ce qu'on utilisé le fait que : $$
\begin{array}{ccccc}
phi:& \Q_p[X] & \to & \Q_l[X] \\
& \sum a_k\,X^k & \mapsto & \sum \phi (a_k)\,X^k
\end{array} $$
est un isomorphisme d'anneaux qui fixe les polynômes à coefficients dans $\Q$ ?
2) On a démontré qu'un sens. Est-ce que le sens inverse est évident ?
Réponses
-
Tu rigoles pour la 2) ? Si $l=p$, tu ne sais pas dire si $\mathbb Q_p$ et $\mathbb Q_l$ sont isomorphes ? Ils sont bien plus que ça...
Pour la 1) on s'en est servi pour dire $\phi(F)=F$. -
Bonjour poirot,
si $l=p$ ils sont confondus donc 'isomorphes' n'a pas de sens ?!
et pour $\phi(F) = F$ dans quelle étape on l'a utilisé? (j'ai fait la preuve sans prendre en consodération cette condition ) ?
Merci -
Si deux corps sont égaux, ils sont isomorphes en particulier.
Pour $\phi(F)=F$, c'est ce qui donne la contradiction si $F$ est réductible d'un côté et pas de l'autre. -
D'accord et le fait que cet isomorphisme d'anneaux fixe les polynômes à coefficients dans $\Q$ vient du fait que $\phi$ $\Q_p$ ---> $\Q_l$ est un isomorphisme de corps qui fixe $\Q$ ? c'est ça ?
-
Oui.
-
Merci beaucoup.
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Bonjour!
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