application du lemme de Hensel

Bonjour,
J'ai besoin d'aide s'il vous plaît.

Théoréme : Soient $p \;\; et \;\; l$ deux nombres premiers .Alors, $$\Q_p \text{ et } \Q_l \text{ sont isomorphes } \Longleftrightarrow\ l = p$$
Preuve :
Supposons par absurde que $l \neq p$ et que $\Q_p$ et $\Q_l$ sont isomorphes, notons $\phi$ cet isomorphisme, alors l'application : $$
\begin{array}{ccccc}
\phi:& \Q_p[X] & \to & \Q_l[X] \\
& \sum a_k\,X^k & \mapsto & \sum \phi (a_k)\,X^k
\end{array}
$$ est un isomorphisme d'anneaux qui fixe les polynômes à coefficients dans $\Q$ .Puisque $p \neq l$, $p$ est inversible $\pmod{l}$ et nous pouvons choisir un entier $n$ tel que : $$
n \equiv 0 \pmod{p} \qquad\text{et} \qquad n \equiv 1 \pmod{l}
$$ Soit $$F(X) = X^2 + n\,X + p\,l$$ $F$ est irréductible dans $\Q_p[X]$ (par le critère d'Eisenstein). Par contre $F$ est réductible dans $\Q_l[X]$ ,en effet :
$F(X)$ se décompose en deux facteurs premiers entre eux dans $\mathbb{F}_l[X]$ : $$ \bar{F}(X) = X^2 + X = X\,(X + 1)$$ et d’après le lemme de Hensel, $F(X)$ est aussi réductible dans $\Q_l[X]$. Ainsi $\Q_p$ et $\Q_l$ ne peuvent être isomorphes si $ p \neq l$.

1) Où est-ce qu'on utilisé le fait que : $$
\begin{array}{ccccc}
phi:& \Q_p[X] & \to & \Q_l[X] \\
& \sum a_k\,X^k & \mapsto & \sum \phi (a_k)\,X^k
\end{array} $$
est un isomorphisme d'anneaux qui fixe les polynômes à coefficients dans $\Q$ ?

2) On a démontré qu'un sens. Est-ce que le sens inverse est évident ?