Polynôme irréductible
dans Arithmétique
Bonsoir,
" Soit $F(X) = a_{n+m}\,X^{n+m} + ...+a_{n+1}\,X^{n+1}+X^n+a_{n-1}\,X^{n-1}+...+a_0 \in \mathcal{O}[X] $ \; avec : $$ |a_i| \leq 1 \quad pour\quad 0\leq i\leq n-1 \qquad et \qquad |a_{n+j}|< 1 \quad pour \quad 1\leq j\leq m $$ alors , $F(X)$ est réductible dans $\mathcal{O}[X]$ . "
Preuve:
On a $\bar{F}(X) = X^n + \bar{a}_{n-1}\,X^{n-1} +...+\bar{a}_0$ , on pose
$$ g(X) = X^n + a_{n-1}\,X^{n-1} +...+a_0 \qquad et \qquad h(X) = 1 - a_{n +m}\,X^m $$ alors :
$$
\begin{array}{cll}
F - g\,h &=& F - g + a_{n+m}\;X^{n+m} + a_{n - 1}\,a_{n+m}\,X^{n+m-1} + ....+ a_0\,a_{n+m}\,X^m \\ &=& a_{n+m}\,X^{n+m} + ...+ a_{n+1}\,X^{n+1} + a_{n+m}\,X^{n+m} + a_{n - 1}\,a_{n+m}\,X^{n+m-1} + ....+ a_0\,a_{n+m}\,X^m
\end{array}
$$ il s'ensuit que :
$$|F - g\,h|_G = \sup \{ |a_{n+m}|,|a_{n+m-1}| ,..., |a_{n+1}|, |a_{n-1}\,a_{n+m}|,..., |a_0\,a_{n+m}| \} < 1 $$ donc
$$ \bar{F} = \bar{g}\, \bar{h} $$ c'est à dire : $F$ est factorisable dans $k[X]$
Pourquoi on a passé par tous ces étapes , on a dés le début $\bar{F} = \bar{g} \bar{h}$ car $\bar{h}=1$ ?!
" Soit $F(X) = a_{n+m}\,X^{n+m} + ...+a_{n+1}\,X^{n+1}+X^n+a_{n-1}\,X^{n-1}+...+a_0 \in \mathcal{O}[X] $ \; avec : $$ |a_i| \leq 1 \quad pour\quad 0\leq i\leq n-1 \qquad et \qquad |a_{n+j}|< 1 \quad pour \quad 1\leq j\leq m $$ alors , $F(X)$ est réductible dans $\mathcal{O}[X]$ . "
Preuve:
On a $\bar{F}(X) = X^n + \bar{a}_{n-1}\,X^{n-1} +...+\bar{a}_0$ , on pose
$$ g(X) = X^n + a_{n-1}\,X^{n-1} +...+a_0 \qquad et \qquad h(X) = 1 - a_{n +m}\,X^m $$ alors :
$$
\begin{array}{cll}
F - g\,h &=& F - g + a_{n+m}\;X^{n+m} + a_{n - 1}\,a_{n+m}\,X^{n+m-1} + ....+ a_0\,a_{n+m}\,X^m \\ &=& a_{n+m}\,X^{n+m} + ...+ a_{n+1}\,X^{n+1} + a_{n+m}\,X^{n+m} + a_{n - 1}\,a_{n+m}\,X^{n+m-1} + ....+ a_0\,a_{n+m}\,X^m
\end{array}
$$ il s'ensuit que :
$$|F - g\,h|_G = \sup \{ |a_{n+m}|,|a_{n+m-1}| ,..., |a_{n+1}|, |a_{n-1}\,a_{n+m}|,..., |a_0\,a_{n+m}| \} < 1 $$ donc
$$ \bar{F} = \bar{g}\, \bar{h} $$ c'est à dire : $F$ est factorisable dans $k[X]$
Pourquoi on a passé par tous ces étapes , on a dés le début $\bar{F} = \bar{g} \bar{h}$ car $\bar{h}=1$ ?!
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