Chiffre des unités d'une puissance

Bonjour,

En suivant ce cycle 7-9-3-1, combien de cycles complets avant 2010 ? Quel reste pour atteindre 2010 ? Donc...
De même combien de cycles complets 2-4-8-6 avant 50 ? Quel reste ? Donc....

Aucune puissance entière positive d'un nombre pair ne peut se terminer par 1.
De même le cycle des puissances de 5 est réduit à un seul chiffre, 5. Aucune des ses puissances entières positives ne se termine par 1.
Idem pour 6, cycle d'un seul chiffre.
[Ajout : entretemps zeitnot a fourni pour 7 la même réponse, formulée différemment]

$7^4=2401=10\times 240+1$

Soit $n$ un entier naturel.

$\begin{align}7^{4+n}&=7^4\times 7^n\\
&=(10\times 240+1)7^n\\
&=10\times 240\times 7^n+7^n
\end{align}$

Sous cette forme il me semble clair que les nombres $7^{4+n}$ et $7^n$ ont le même chiffre des unités car quand on multiplie un nombre par 10 le résultat est un nombre qui se termine par un 0 ce qui fait que si tu lui ajoutes un autre nombre A, le chiffre des unités du résultat final sera le chiffre des unités du nombre A.

Autrement dit, si A et B sont des entiers naturels le nombre $10B+A$ a le même chiffre des unités que celui de $A$.

C'est une autre façon de dire ce que GaBuZoMeu a expliqué plus haut.