Comment factoriser F5 ?

Je rapporte ce que j'ai vu un jour dans un exercice de Bourbaki. D'abord, il bien connu (sic) que l'on a la factorisation :
$$
1 + a^4(1+ab-b^4) = (1 + ab) \times (1 - ab + a^2b^2 - a^3b^3 + a^4)
$$
Je corrige mon mensonge : il s'agissait de dire pourquoi le membre de gauche est divisible par $1+ab$. Justification : quand on raisonne modulo $1+ab= 0$ i.e. modulo $ab = -1$, on voit que $a^4(1+ab-b^4) = a^4 \times (-b^4) = -1$, ce qui, ajouté à $1$ donne bien $0$. J'ai tenu ici à expliciter la factorisation.

Le rapport avec la choucroute ? Quand on fait $a = 2^7$, $b = 5$, on obtient, comme par miracle :
$$
1 + ab - b^4 = 1 + 128 \times 5 - 25^4 = 1 + 640 - 625 = 16 = 2^4
$$
Dingue, non ? Car alors :
$$
1 + a^4(1+ab - b^4) = 1 + (2^7)^4 \times 2^4 = 1 + 2^{28} \times 2^4 = 1 + 2^{32} \qquad \hbox {the so called} \quad F_5 = 2^{2^5}
$$
Re-dingue, non ? J'avoue ne pas avoir compris d'où l'auteur de l'exercice sortait ce machin. J'en ai juste déduit que nous n'étions pas tous faits du même moule.