Équation dans N

Bonjour
Merci @remark et al. je vais vérifier cela mais maintenant il me semble aussi l'avoir vu quelque part
(je pense que l'on doit utiliser les fractions continues).

Maintenant ma question en appelle une autre.
Existe-t-il une constante c>0 telle que pour tout k dans $\N$ on ait $$ |k \sin(k)+ \cos(k)|\geq c >0 \quad ? $$

Oui merci @gairequin
j'aurai dû le dire mais exactement c'est la preuve qui est difficile.
En fait, ce problème que je pose est une version "ligth" d'un problème un peu plus général
que je rencontre dans le cadre d'un travail qui a priori n'a pas de rapport avec la théorie des nombres.
J'ai obtenu un résultat favorable pour un paramètre, disons a, qui est rationnel.
Quand a n'est pas rationnel, je me retrouve avec des questionnements de ce genre mais numériquement comme ici j'en reste au niveau de la conjecture.

Bonjour @gai-requin @remark

Sur ce type de problème a priori ce n'est pas évident de savoir ce qu'il faut conjecturer.
En effet, pour $k=1,\ldots, 100 000\ $ on a bien $|u_k|\geq |3 \sin(3)+\cos(3)|.$
Mais quelqu'un m'a trouvé une valeur $k=80143857$ où $|u_k| \approx 0.18.$

À savoir que l'on peut montrer que la suite $|u_k|$ admet 0 comme valeur d'adhérence ssi il existe une infinité de couples d'entiers $(k,k_1)$ tels que $$ k=k_1\pi-\dfrac{1}{k} + o\Big(\dfrac{1}{k} \Big)
$$ Il s'agit ici de savoir si on peut approcher $\pi$ par des rationnels mais de façon assez particulière.

Effectivement cela donne en valeur absolue : 0.07644630912425399