Méthode de Newton

Bonjour,
S'il vous plait j'ai besoin d'aide .
Théoréme
Soit $F(X) \in \Z_p[X] \quad et \quad a \in \Z_p$ tels que : $$ |F(a)| < |F{'}(a)|^2$$ alors il existe un nombre unique $\alpha \in \Z_p$ telle que :$$ F(\alpha) = 0 \quad et \quad |\alpha - a| < |F{'}(a)|$$ De plus :

$|\alpha - a| = \dfrac{|F(a)|}{|F{'}(a)|} < |F{'}(a)|$
$|F{'}(\alpha)| = |F{'}(a)|$


Lemme(Méthode de Newton)

Soit $n$ un entier $\geq 1 $ .
Soient $ F(X) \in \Z_p[X]$ et $a \in \Z_p$ tels que $F(a) \equiv 0 \pmod{p^n\,\Z_p}$\\
Soit $F{'}(X)$ la dérivée de $F(X)$ . Si l'on a $ |F{'}(a)|_p = p^{-k}$ où $ 0\leq 2k < n$ ; alors $b = a - \frac{F(a)}{F{'}(a)} \in \Z_p$ tel que :
$b \equiv a \pmod{p^{n-k}\,\Z_p}$
$F(b)\equiv 0 \pmod{p^{n+1}\,\Z_p}$
$|F{'}(b)|_p = |F{'}(a)|_p = p^{-k} $

Preuve du théorème
Il découle du lemme précédent .En effet , on construit une suite $\alpha_n$ vérifiant le lemme ci-dessus qui est de cauchy et sa limite vérifie le théorème.

Je n'arrive pas à bien appliquer ce lemme pour montrer le théorème.
Pour que la suite soit de cauchy il faut que $\lim\limits_{ n \rightarrow +\infty}|\alpha_{n+1} - \alpha_n| = 0$ ,le $\alpha_n$ est le $a$ dans le lemme .et le $\alpha_{n+1}$ est ce que c'est le $b$ qui est dans le lemme ?

Merci d'avance.