Somme des $1/H_{k}$

Bonjour,

Soit $ \mathcal{H}_{k} : =\lim\inf_{n\to\infty}p_{n+k}-p_{n} $ où $ p_{i} $ est le $ i $ -ème nombre premier. Maynard a prouvé que $ \mathcal{H}_{k} $ est finie pour tout $ k $ . On conjecture que $ \mathcal{H}_{k}\sim k\log k $ et j'ai donné sur Mathoverflow une heuristique suggérant que $ \mathcal{H}_{k}=k(1+H_{k})+O\left(\dfrac{1}{\log k}\right) $ où $ H_{k}=\sum_{l=1}^{k}\dfrac{1}{l} $.

Sait-on si $ \lim_{m\to\infty}\sum_{k=1}^{m}\dfrac{1}{\mathcal{H}_{k}}=\infty $?