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élément de $\Q_p$ qui est un carré

couragecourage
dans Arithmétique
Bonsoir,
Si quelqu'un pouvait m'aider à comprendre cette petite démonstration.

Proposition: Si $x = 2^nu \in \Q_2$ est un carré alors $u \equiv 1 \pmod{8 \Z_2}$

Démonstration: $u = v^2$ dans $\Q_2$ alors $|u|_2 = |v|^2_2 = 1 \Rightarrow v \in \Z^\times _2$. Dans $\frac{\Z_2}{8\,\Z_2} \cong \frac{\Z}{8\,\Z}$, les unités dont les carrés sont congrus à $1\pmod{8}$ sont : $1,3,5$ et $7$, donc $u = v^2 \equiv 1\pmod{8\,\Z_2}$

Je n'arrive pas à comprendre pourquoi si les unités dont les carrés sont congrus à $1\pmod{8}$ sont : $1,3,5$ et $7$, alors $u = v^2 \equiv 1\pmod{8\,\Z_2}$ ?!

Merci d'avance.

Réponses

  • GaBuZoMeuGaBuZoMeu
    Il y a des choses que tu ne dis pas, par exemple que $n$ est la valuation $2$-adique de $x$ et donc que $u=2^{-n}x\in \Z_2^\times$. Si $x$ est un carré, $n$ est forcément pair et $u$ est un carré.
    La classe de $u$ dans $\Z_2/8\Z_2\simeq \Z/8\Z$ est donc un carré inversible, et le seul carré inversible de $ \Z/8\Z$ est $1$.
  • PoirotPoirot
    Bon c'est très mal rédigé. Soit $v \in \mathbb Q_2$ que l'on décompose sous la forme $v=2^n u$, avec $n \in \mathbb Z$ et $u \in \mathbb Z_2^{\times}$.

    Si $x=y^2$ avec $y = 2^m v \in \mathbb Q_2$, on a, en considérant les valuations, $n=2m$ et $v^2=u$.

    Les carrés de $\mathbb Z_2/8 \mathbb Z_2 \simeq \mathbb Z/8 \mathbb Z$ sont $0, 1, 4$. Or, si $v^2 = 0 \pmod 8$ alors $2 \mid v$, et de même si $v^2 = 4 \pmod 8$, absurde car $v$ est inversible dans $\mathbb Z_2$. Donc $u=v^2=1 \pmod 8$.
  • couragecourage
    @GaBuZoMeu : oui, je m'excuse.J'ai oublié de les mentionner .Merci

    @Poirot: Merci pour la rédaction.
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