question sur les idempotents

courage · July 2017

Bonsoir,

proposition
si on a $R$ une algébre ccommutative de type finie sur un anneau $R$ local noetherien complet pour la topologie associée à son idéal maximal $M$ alors : Si deux idempotents sont orthogonaux dans $\frac{A}{MA}$ alors ils le sont dans l'absolu.

Preuve

Leur produit est nul car (par complétude) 1 – x est inversible, or x(1 – x) = 0.

Je n'ai pas compris la preuve (ça sert à quoi la complétude ici?) et voilà ce que j'ai fait :
soient $e_1$ et $e_2$ deux idempotents orthogonaux dans $\frac{A}{MA}$ alors on a : $e_1 e_2 \equiv 0 \pmod{MA}$ or on a $e_1(e_1 - 1) =0$ et $e_2(e_2 - 1) =0$ donc $e_1e_2(e_1 - 1)(e_2 - 1) =0$ j'arréte ici !

GaBuZoMeu · July 2017

$(1-x)^{-1}=1+x+x^2+\cdots$.

courage · July 2017

Pardon, je n'ai pas compris ta réponse ?!
Ma question c'est comment montrer que si $e_1e_2 =0$ modulo $MA$ alors $e_1e_2=0$ ?

GaBuZoMeu · July 2017

N'aurais-tu pas mélangé $R$ et $A$ dans ton message (deux fois $R$) ? N'aurais-tu pas oublié d'écrire que $x=e_1e_2$ ? Il s'agit de montrer que $x$ est nul. Ma réponse est une indication sur ta question : en quoi est-ce que la complétude sert pour voir que $1-x$ est inversible ?

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