Limite sur les entiers sans carrés parfaits

ASCM · July 2017

Bonjour

On pose $\quad\displaystyle K(s) = \prod_{i=1}^{s} p_{i},\ $ $p_{i}$ étant le $i$-ème nombre premier. Avons-nous la limite :
\[ \sum_{n=1}^{+\infty} \mu(n)f(n) = \lim\limits_{s \to +\infty} \sum_{p | K(s)} \mu(p)f(p)
\] $f(n)$ étant une fonction tendant vers 0 comme $\frac{1}{n}$. Il est évident bien sûr qu'avec la convergence absolue des séries impliquées, cette égalité tient, mais je me place dans le cas d'une convergence simple.
Je m'excuse d'avance pour les barres dans les formules du message.
Merci.

Poirot · July 2017

Par les propriétés de la fonction de Möbius, on a $$\sum_{k \mid K(s)} \mu(k) f(k) = \sum_{n=1}^{K(s)} \mu(n) f(n) - \sum_{n \in Q_s} \mu(n) f(n),$$ où $Q_s$ est l'ensemble des entiers sans facteurs carrés inférieurs à $K(s)$ et ne divisant pas $K(s)$ (donc qui ont un facteur premier autre que $p_1, \dots, p_s$).

On doit pouvoir conclure avec une estimation sur les quadratfrei dans certains intervalles.

noix de totos · July 2017

On peut déjà remplacer $\mu(p)$ par $-1$ dans la somme de droite.

On peut aussi constater que c'est faux pour $f(n) = \frac{1}{n}$ (si, toutefois, j'ai bien compris la teneur du message).

ASCM · July 2017

Bonjour,

Bon je réponds moi même à ma propre question . Cette égalité n'est pas forcément vraie. Si cela l'était, on pourrait très facilement démontrer le théorème des nombres premiers par exemple. Merci pour vos réponses.

Limite sur les entiers sans carrés parfaits

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