Suite à la demande d'ev

m=0, n=1, k=0

Indication: on écrit l'égalité de départ sous la forme $(2n-1)(2n+1)=3(2m+1)^2$.

Équation de [size=large]Fermat[/size]-[small]Pell[/small] :
$(2n)^2-3(2m+1)^2=1$, etc.

Excellente référence. Dans le même ouvrage on lit :
«The equation $x^2-Dy^2=1$ is known as the "Pellian equation", apparently because Pell neither first discussed nor first solved it !» (p. 248)
« (...) although history has unearthed the error, the equation is now irrevocably Pell's instead of rightfully the Fermat's equation » (p. 249).
J'ai d'autres références, on en a déjà parlé, si besoin est on en reparlera.
Quelles gouttes ?
Bonne soirée.
Fr. Ch.

$\bullet$ L'équation : $(m+1)^3-m^3=n^2$ équivaut à : $(2n)^2-3(2m+1)^2=1$. C'est une équation de [large]Fermat[/large]-[size=x-small]« Pell »[/size] $x^2-3 y^2=1$, dont les solutions positives sont pour $p \in \mathbb N$ : $x_{p}+y_{p}\sqrt{3}=(2+\sqrt{3})^{p}$, $x_p \in \mathbb N$, $y_p \in \mathbb N$.
Ces suites $x_p$ et $y_p$ sont définies par : $x_{p+1}=2x_{p}+3y_{p}$, $y_{p+1}=x_{p}+2y_{p}$, avec valeurs initiales $x_0=1$, $y_0=0$.
On en déduit : $x_{p+2}=4x_{p+1}-x_{p}$ avec $x_0=1$ et $x_1=2$. Il apparaît que les $x_p$ sont des entiers positifs alternativement pairs et impairs.
Comme on veut une solution paire en $x$, on sélectionnera les $x_{2p+1}$, qui sont pairs.
Ainsi, les solutions en $n$ de l'équation proposée forment la suite des entiers $n_{p}$ tels que : $2n_{p}=x_{2p+1}$, $p \in \mathbb N$.

$\bullet$ Pour tout $p \in \mathbb N$ on a : $x_{p}-y_{p}\sqrt{3}=(2-\sqrt{3})^{p}$, d'où : $x_{p}=\frac{1}{2}((2+\sqrt{3})^{p}+(2-\sqrt{3})^{p})$.
En conséquence : $x_{2p+1}=\frac{1}{2}((2+\sqrt{3})^{2p+1}+(2-\sqrt{3})^{2p+1})=\frac{2+\sqrt{3}}{2}(2+\sqrt{3})^{2p}+\frac{2-\sqrt{3}}{2}(2-\sqrt{3})^{2p}$.
On remarque que : $\frac{2\pm \sqrt{3}}{2}=\frac{4\pm 2\sqrt{3}}{4}=(\frac{1\pm \sqrt{3}}{2})^{2}$, et l'on en déduit :
$x_{2p+1}=(\frac{1+\sqrt{3}}{2}(2+\sqrt{3})^{p}+\frac{1-\sqrt{3}}{2}(2-\sqrt{3})^{p})^{2}+1=u_p^2+1$,
avec : $u_{p}=\frac{1+\sqrt{3}}{2}(2+\sqrt{3})^{p}+\frac{1-\sqrt{3}}{2}(2-\sqrt{3})^{p}$.
Cette suite $u_p$ est soumise à la même relation de récurrence : $u_{p+2}=4u_{p+1}-u_{p}$, mais avec $u_{0}=1$ et $u_{1}=5$.
C'est donc une suite d'entiers, et d'entiers positifs impairs : $u_{p}=2k_{p}+1$, $k_p \in \mathbb N$.
D'où : $2n_{p}=x_{2p+1}=u_{p}^{2}+1=(2k_{p}+1)^{2}+1$, et finalement : $n_{p}=k_{p}^{2}+(k_{p}+1)^{2}$.
Bonne nuit.
Fr. Ch.
06/07/2017

Merci abstract de nous faire savoir qu'on trouve ce problème sur l'excellent site diophante.fr : http://www.diophante.fr/problemes-par-themes/arithmetique-et-algebre/a1-pot-pourri/121-a1912-cubes-et-carres-consecutifs.

Nous y apprenons que ce problème provient d'un article de 1949 de Victor Thébault (1882–1960). C'était un mathématicien français, auteur de plusieurs ouvrages et d'un grand nombre d'articles dans diverses revues de plusieurs pays, et aujourd'hui bien injustement oublié. Ses domaines de prédilection étaient la géométrie élémentaire et la théorie des nombres.

J'ai trouvé une notice wikipedia en anglais : https://en.wikipedia.org/wiki/Victor_Thébault, trop succincte, qui renvoie à un article biographique de Mathematics Magazine de 1960, que je n'ai pas.
Voir aussi : http://docslide.net/documents/victor-thebault-1882-1960.html http://www.worldcat.org/identities/lccn-n84801492/
Et aussi le très beau livre :
Alexander Ostermann,Gerhard Wanner, Geometry by Its History, Springer, 2012,
qui relate ses découvertes géométriques.

Dans tout ça, rien en français ! Nos « historiens-des-mathématiques » pourraient peut-être délaisser quelques instants les Al-Kashi & analogues, et se pencher quelque peu sur notre patrimoine mathématique ?

Il y a plusieurs « théorèmes de Thébault » en géométrie. Dont si je ne me trompe : « Soit dans le plan un parallélogramme, et soient les quatre carrés construits extérieurement sur les côtés de ce parallélogramme ; alors les centres de ces carrés forment un carré ». Les membres de la brillante pléiade de géomètres de ce forum pourraient-ils nous en dire plus ?

Anecdote. J'ai rencontré dans les années 1980 un fils de Victor Thébault, qui était bouquiniste, tenant un magasin sur une petite place du XVIIème arrondissement de Paris. Hélas ce magasin a fermé et je l'ai perdu de vue.

Bonne journée.
Fr. Ch.