base d'entiers
dans Arithmétique
Bonjour,
Comment déterminer la base d'entiers du corps dont l'élément primitif a comme polynôme minimal X^3 -nX^2-nX-n avec n entier positif.
Merci.
Comment déterminer la base d'entiers du corps dont l'élément primitif a comme polynôme minimal X^3 -nX^2-nX-n avec n entier positif.
Merci.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Une condition suffisante facile à vérifier consiste à regarder la famille $(1, \alpha, \alpha^2)$ où $\alpha$ est l'élément primitif en question. Si le discriminant de cette famille est sans facteurs carrés alors il s'agit bien d'une $\mathbb Z$-base de l'anneau des entiers.
Si c'est le cas ça serait génial puisque c'est justement le discriminant du corps que je cherche. :-D
$$
-n^2 (3n^2 + 14n + 27)
$$
Et pour $n = 1$, il vaut $-44 = -2^2 \times 11$.
A priori, déterminer une $\Z$-base de l'anneau des entiers ne me paraît pas simple. Mais je n'ai pas réfléchi.
Le discriminant de $(1,\alpha,\alpha^2)$ est celui du polynôme minimal de $\alpha$, à savoir $X^3-nX^2-nX-n$.
Malheureusement, ce discriminant n'est pas sans facteurs carrés.
Donc le critère donné par Poirot ne s'applique jamais à ton polynôme.
Tout à fait. Puisque $F_n(X) = X^3 + n \times (\cdots)$, il est clair que $\text{Disc}(F_n)$ est divisible par $n^2$.
Pour moi, avec tout le respect que je dois aux intervenants (pas toi), il y a quelque chose que je trouve surréaliste dans les posts 2 et 3. On peut se poser des questions.
Des questions (des vraies i.e. mathématiques) :
1) Est ce que ``les gens'' se rendent bien compte de la complexité de donner la base d'entiers d'une FAMILLE de polynômes ? Il suffit de voir le boulot pour déterminer l'anneau des entiers de $\Q(\root 3 \of d)$ pour $d$ cube-free pour s'en rendre compte.
2) Est ce que c'est si facile de démontrer que $F_n(X)$ est irréductible pour tout $n \ge 1$? D'ailleurs, est ce vrai ?
3) Mais d'où provient cette famille $(F_n)_{n \ge 1}$ ?
Je ne vais pas en faire plus.
Quand je regarde [ici], j'ai presque envie de dire à khattab de laisser tomber la recherche d'une base d'entiers pour tout $n$, et d'essayer plutôt de s'amuser avec $X^2-nX-n$ pour se faire la main...
Oui je réalise la corvée pour déterminer l'anneau des entiers rien que pour les corps cubiques purs ( voir le livre de Daniel Marcus par exemple)
Pour la seconde question, oui les polynômes X^3-nX^2-nX-n sont irréductibles. Un polynôme dans Z[X] est réductible s'il s'écrit sous forme de fg avec f et g dans Z[X]. Dans ce cas Fn aurait une racine dans Z. Or comme le discriminant est négatif, Fn admet une seule racine réel n<x< (n+1).
Pour la troisième question, je travail sur l'algorithme de Jacobi-Perron et pour cette famille de polynôme on obtient pour chaque "n" un couple dont le développement est périodique. Ce qui nous permet d'obtenir une unité du corps de nombre engendré par la racine du polynôme.
Donc la question qui se pose pour moi "Est ce que cette unité est fondamentale ?".
J'ai déjà la réponse pour certains cas de "n" grâce aux exemples que tu as mis. Cela m'aide énormément comme je suis nul en informatique (d’ailleurs ça se voit que j'utilise même pas Latex :-( )
Encore merci Claude.
Merci mais c'est justement le cas cubique qui m’intéresse comme je travail sur l'algorithme de Jacobi-Perron est que c'est justement une généralisation des fractions continues pour les cas des nombres algébriques de degrés supérieurs à 3.
S'il y a un théoricien des nombres qui traîne dans les parages, il pourra t'aider beaucoup plus que moi.
Bon courage.
Vu pour l'irréductibilité de $F_n$ (je n'y aurais pas pensé) : on a $F_n(n+1) = 1$ et $F_n(n) = -n(n+1)$ d'où une racine réelle ...etc... Petit cachotier.
Les $F_n$ sortent d'où ? Car ies discriminants de l'anneau des entiers de $K_n = \Q[X]/\langle F_n\rangle$ sont deux à deux distincts pour $1 \le n \le 10^3$. En machine, ce calcul, pour $1 \le n \le 10^3$, demande moins d'une demi-seconde.
Algorithme de Jacobi-Perron et fractions continues ? Je ne connais pas mais quelle chance tu as. Obtention d'un couple dont le développement est périodique ? Mystérieux.
Je pense que tu nous cache des choses. Par exemple :
$$
F_n(X) = (X^2 + X + 1)(X - (n+1)) + 1
$$
Et donc si $x$ est une racine de $F$ :
$$
(x^2 + x + 1)(n+1 - x) = 1
$$
Et ici, on voit deux unités (réelles si $x$ est la racine réelle) inverses l'une de l'autre. Et souvent (ce qui ne veut rien dire), $x^2 + x + 1$ est l'unité fondamentale. Tu disposes de ces informations, n'est ce pas ?
La détermination du discriminant me permet d'avoir une bonne minoration de l'unité fondamentale.
Oui justement c'est une unité qui pourrait être fondamentale ( comme pour le cas de Q(2^(1/3)) ).
Mais comment dire qu'elle est fondamentale ?
Mon sujet de travail est avant tout l'algorithme de Jacobi-Perron et c'est dommage qu'il me donne une unité aussi facile à obtenir.
Que pourrait-on faire ici ? On note $\alpha$ une racine de $P_n = X^3-nX^2-nX-n$ et $K_n = \mathbb{Q} (\alpha)$ le corps de nombres défini par $P_n$.
1. Soit $a = 3n(n+3)$ et $b=-n(2n^2+9n+27)$ (et on suppose $a$ entier $2$-libre ou $b$ entier $3$-libre). Alors, sauf erreur, $Q_n = X^3-aX+b$ est le polynôme minimal de $\theta := 3 \alpha - n$ avec $\textrm{disc}(Q_n) = -n^2 (3n^2+14n+27)$.
2. On peut alors essayer d'appliquer un résultat dû à Voronoi à $Q_n$, puis en déduire une base entière pour $K_n$ en remplaçant $\theta$ par $3 \alpha - n$.
Par exemple, supposons que $3 \mid n$ et soit $N^2$ le plus grand carré divisant $\textrm{disc}(Q_n)$ pour lequel le système
$$\left \{ \begin{array}{rcl} x^3 - ax + b & \equiv & 0 \; \left(\textrm{mod} \, N^2 \right) \\ 3x^2 - a & \equiv & 0 \; \left(\textrm{mod} \, N \right) \end{array} \right.$$
possède une solution $x$. Alors
$$\left( 1 , 3 \alpha - n , \frac{1}{N} \left( x^2 - a + x (3\alpha - n) + (3 \alpha - n)^2 \right) \right)$$
est une base entière pour (l'anneau des entiers de) $K_n$.
On a un résultat similaire pour $3 \nmid n$.
Il manque un facteur $3^6$ dans le discriminant de $Q_n$ because le 3 dans $\theta = 3\alpha - n$. Je suppose que ce changement de variable, c'est pour avoir un polynôme minimal de la forme $X^3 + \bullet X + \bullet$ sans terme en $X^2$ ?
@khattab
Il semble que $y := x^2 + x + 1$ soit l'unité fondamentale sauf pour certains $n$ particuliers comme $1, 8, 27, 64, 125, 216, 343$ par exemple. Pour ces $n$ là, l'indice du sous-groupe $\langle -1, y\rangle$ dans le groupe des unités est $3$. Expérimental. Je n'y connais rien.
Cas I : $n$ est un cube $n = m^3$. On divise $x^3 - m^3 x^2 - m^3 x - m^3 = 0$ par $m^3$ :
$$
(x/m)^3 - m^2(x/m)^2 - m(x/m) - 1 = 0 \qquad \hbox {i.e.} \qquad y(y^2 - m^2y - m) \quad \buildrel {(\heartsuit)} \over =\quad 1 \quad \hbox {avec $y = x/m$}
$$
L'égalité $(\heartsuit)$ montre d'une part que $y$ est entier et d'autre part que $y$ est une unité.
Je fais le pari que $y$ est l'unité fondamentale. Remarque : on a $y^3 = x^2 + x + 1$ et on voit bien que cela ne peut pas être $x^2 + x + 1$ qui est l'unité fondamentale.
Cas II : $n$ n'est pas un cube. Je fais le pari que $x^2 + x + 1$ est l'unité fondamentale. Rappel : $(x^2 + x + 1)(n+1-x) = 1$.
On voit donc, si j'ai raison, que le comportement de $F_n$ est, du point de vue des unités, relativement régulier (être ou ne pas être un cube). Par contre, en ce qui concerne une base de l'anneau des entiers, c'est une autre paire de manches et je n'ai aucun pari à proposer.
Pour une unité, on peut aussi remarquer que, puisque $P_n(n+1)=1$, alors $\alpha -n-1$ est une unité.
Enfin, pour une base d'entiers, j'ai donné un moyen assez simple plus haut, non ?
Pour le discriminant de $Q_n$, on utilise
$$
\text{Disc}(X^3 - aX + b) = 4a^3 - 27b^2
$$
Et, comme tu dis, on y fait $a = 3n(n+3)$ et $b = -n(2n^2 + 9n + 27)$ [color=#FF0000]corrigé[/color]. Et je trouve alors :
$$
3^6 \times \big(-n^2 (3n^2 + 14n + 27)\big) \qquad \hbox {versus toi} \qquad -n^2 (3n^2 + 14n + 27)
$$
Il faut bien que le facteur $3$ dans $\theta = \underline {3}\alpha - \cdots$ intervienne quelque part.
Quant à la base d'entiers, je ne conteste pas la simplicité de ce que tu as fait. Je n'ai absolument pas envie ``de faire quelque quelque chose avec''.
Si j'ai fait quelque chose en ce qui concerne les unités, c'est que la bascule $x^2 + x + 1$ (quand $n$ n'est pas un cube) versus $x/m$ (quand $n = m^3$), ce n'était pas compliqué à gérer.
Mais l'auteur du fil qui était en quête d'une base d'entiers, lui peut certainement ``faire quelque chose avec''. Sauf qu'à la main, cela ne doit pas être si facile.