Matrices à coefficients entiers
dans Arithmétique
Bonjour,
On a l'exo suivant :
Soit $n\in \N^*$. Pour $X\in \mathbb{Z}^n$, on définit $\lambda(X)$ comme le pgcd des coefficients de $X$. Soit $A$ dans $\mathcal{M}_n(\Z)$. Montrer que :
$$
\det(A)=\pm 1 \quad \Leftrightarrow \quad \forall X\in \mathbb{Z}^n,\ \lambda(AX) = \lambda(X)
$$
L'exo ne me pose pas de problème. En revanche je me demande s'il y a une relation générale entre $\lambda(AX) $ et $\lambda(X)$ lorsque le déterminant de $A$ ne vérifie plus la condition $\det(A)=\pm 1$.
Merci !!!
On a l'exo suivant :
Soit $n\in \N^*$. Pour $X\in \mathbb{Z}^n$, on définit $\lambda(X)$ comme le pgcd des coefficients de $X$. Soit $A$ dans $\mathcal{M}_n(\Z)$. Montrer que :
$$
\det(A)=\pm 1 \quad \Leftrightarrow \quad \forall X\in \mathbb{Z}^n,\ \lambda(AX) = \lambda(X)
$$
L'exo ne me pose pas de problème. En revanche je me demande s'il y a une relation générale entre $\lambda(AX) $ et $\lambda(X)$ lorsque le déterminant de $A$ ne vérifie plus la condition $\det(A)=\pm 1$.
Merci !!!
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Réponses
On peut écrire, dans le cas où $ A$ est inversible:
$L(X)$ divise $L(AX),$ et $L(AX)$ divise $ DetA\times L(X) $ (où $ L(X) $ désigne le $ pgcd$ des coordonnées de $ X$)