Équations diophantiennes : résolues ?

Ottman · July 2017

Bonsoir, je me demandais si aujourd'hui on est capable de résoudre n'importe quelle équation diophantienne. je ne me connais pas beaucoup en arithmétique et du coup je ne connais pas à quoi ressemble la recherche en arithmétique aujourd'hui mais est-ce qu'on est en mesure de : étant donné une équations diophantienne quelconque de n'importe quel degré lui trouver au moins une solution si elle est résoluble.

GaBuZoMeu · July 2017

Il existe un algorithme qui donne toujours une solution d'une équation diophantienne si celle-ci en a une. Je le décris dans le cas d'une inconnue : il consiste à essayer l'un après l'autre les entiers.

Ottman · July 2017

plutôt barbare x) et donc pour avoir toutes les solutions d'un coup ? j'imagine que ce n'est pas possible pour un algorithme (J'imagine je peux me tromper) mais genre au moins grâce à des raisonnements "savants" décrire l'ensemble de solutions. ?

Shah d'Ock Anonyme · July 2017

Si je ne me trompe pas le théorème de Matiassevitch affirme qu'il n'existe pas d'algorithme qui étant donné une équation diophhantienne détermine si elle a ou non des solutions.

Ottman · July 2017

Je vais regarder, Merci !

Poirot · July 2017

Plus précisément, Matyasevitch a démontré en 1970 que les ensembles d'entiers diophantiens (c'est-à-dire les ensembles de solutions d'équations diophantiennes en un nombre arbitraire d'inconnues) sont exactement les ensembles d'entiers récursivement énumérables. En particulier, il n'existe pas d'algorithme universel prenant en entrée une équation diophantienne et qui répond si oui ou non cette équation a des solutions entières.

Shah d'Ock Anonyme · July 2017

Pour être précis, j'imagine qu'il s'agit des projections sur la première coordonnée des solutions d'équations diophantiennes?

Ottman · July 2017

Donc on est sûr qu'il n'y a pas d'algorithme pour une résolution systématique mais est-ce que en dépit de cela il y'a encore une recherche active sur les équa diophantiennes ? genre j'imagine comme le cas des équations polynomiales pour un degré supérieur ou égal à 5 on a pas des réponses directes et générales mais on peut quand même dire des choses intéressante (Théorie de Galois)

Poirot · July 2017

Je crois qu'il est prouvé qu'il n'y a pas d'algorithme pour le degré $3$ déjà, mais je peux me tromper, c'est peut-être pour un degré plus élevé.

Shah d'Ock Anonyme · July 2017

Clairement le théorème de Matiassevitch n'a pas arrêté la recherche sur les équa dioph $x^n+y^n=z^n$. Bon aujourd'hui elles sont résolues, mais il y en a sans doute d'autres qui continuent à faire couler de l'encre et de la sueur.