Système de congruences

Bonjour
Il s'agit pour moi de résoudre le système suivant :

$3^{x}\cdot 3^{y}\equiv 3^{25}\pmod{38}$
$3^{y}\cdot 3^{z}\equiv 3^{31}\pmod{38}$
$3^{x}\cdot 3^{z}\equiv 3^{62}\pmod{38}$

Je ne sais pas ce qu'en disent les mathématiques classiques et j'aimerais savoir si le raisonnement qui va suivre est acceptable aux yeux de vrais mathématiciens. Je précise bien que ce qui importe avant tout, pour moi, c'est la justesse du raisonnement car je pense que les solutions trouvées sont exactes. Mais à cause d'un raisonnement mauvais ou incomplet, je passe peut-être à côté d'autres solutions. Merci d'avance.

Pour résoudre ce système j'ai d'abord écrit ceci :

$3^{x+y}\equiv 3^{25}\pmod{38}$
$3^{y+z}\equiv 3^{31}\pmod{38}$
$3^{x+z}\equiv 3^{62}\pmod{38}$

Ensuite, j'ai vérifié que $3$ est un générateur du groupe des inversibles de l'anneau $\mathbb{Z}/38\mathbb{Z}$. Alors, je me suis dit (!?!) que les calculs relatifs aux puissances de $3$ se font sûrement modulo $\varphi(38)=18$, puisque ce groupe (multiplicatif) est d'ordre $18$. Ce qui donne, à propos des puissances de $3$ :

(1) $x+y\equiv 25\equiv 7\pmod{18}$
(2) $y+z\equiv 31\equiv 13\pmod{18}$
(3) $x+z\equiv 62\equiv 8\pmod{18}$

et en retranchant, par exemple, (2) de (1)+(3), j'obtiens :
$2x\equiv 2\pmod{18}$
qui revient à devoir résoudre $\bar{2}\cdot \bar{x}=\bar{2}$ dans $\mathbb{Z}/18\mathbb{Z}$

La théorie me dit à ce sujet :
- que cette dernière équation admet (au moins) une solution si et seulement si $2$ divise $18$, ce qui est le cas,
- que le nombre de solutions est égal à $pgcd(2;18)$, soit 2 solutions,
- et enfin que, une solution étant trouvée, à savoir la solution évidente $x=1$, l'autre solution est de la forme $1+(18/2)=10$

J'en conclus que $x\equiv 1\pmod{18}$ ou $x\equiv 10\pmod{18}$.

Si $x\equiv 1\pmod{18}$, alors $y\equiv 6\pmod{18}$ et $z\equiv 7\pmod{18}$
Si $x\equiv 10\pmod{18}$, alors $y\equiv 15\pmod{18}$ et $z\equiv 16\pmod{18}$
Merci d'avance pour vos remarques.

Une dernière question : $x, y , z \in \mathbb{N}$ ou $\in \mathbb{Z}$ ?

[LaTeX fournit la commande \pmod{xx} pour donner $\pmod{xx}$. AD]