Erdös Straus (à propos de la conjecture d')

Bonjour à tous,

Merci Chaurien pour ton lien.

J'explicite le rapport entre ma question et la conjecture

$C:=$ "Pour tout entier $n$ strictement plus grand que $1$, $\displaystyle {\frac {4}{n}}$ est la somme de trois fractions unitaires":

Soient les deux conjectures:

$C_1:=$ "Pour tout premier $p$ , $\displaystyle {\frac {4}{p}}$ est la somme de trois fractions unitaires"
$C_2:=$ "Pour tout premier $p$ congru à $1$ modulo $24$ ,$\displaystyle {\frac {4}{p}}$ est la somme de trois fractions unitaires"

Je pense vraies les propositions suivantes, et leurs preuves élémentaires:

$P_0:=$ " $C, C_1$ et $C_2$ sont équivalentes".

$P_1:=$ " pour qu'une fraction soit la somme de deux fractions unitaires, il faut et il suffit que son numérateur divise la somme de deux diviseurs de son dénominateur".

$P_2:=$" pour que la fraction irréductible $\displaystyle {\frac{a}{b}}$ soit la somme de deux fractions unitaires, il faut et il suffit qu'existe $(u,v)$ tel que $a$ divise $u+v$ et $uv$ divise $b$".

$P_3:=$ " pour tout $p$ premier, si $\displaystyle {\frac {4}{p}}$ est la somme de trois fractions unitaires, $p$ divise le dénominateur de l'une d'elles",
autrement dit:

$P_3':=$ "pour tout $p$ premier, $\displaystyle {\frac {4}{p}}$ est somme de trois fractions unitaires si et seulement si il existe $q$ tel que $\displaystyle {\frac {4q-1}{pq}}$ soit la somme de deux fractions unitaires".

$P_4:=$ "pour tout $p$ premier congru à $1$ modulo $4$, et tout $q$ , $\displaystyle {\frac {4q-1}{pq}}$ est réductible si et seulement si
il existe $k$ tel que $4q-1=kp$, auquel cas $\displaystyle {\frac {4q-1}{pq}=\frac{k}{q}}$ ,cette dernière étant irréductible".

$P_5:=$ "pour tout $p$ premier congru à $1$ modulo $4$ (par exemple congru à $1$ modulo $24$), il suffit qu'existe $(a,b,k,u,v)$ tel que le système diophantien $(u+v=ak;\ 4buv=kp+1)$ admette une solution pour que $\displaystyle {\frac {4}{p}}$ soit la somme de trois fractions unitaires" .

Plus explicitement:

Si $(u+v=ak;\ 4buv=kp+1)$, $\displaystyle {\frac {4}{p}=\frac{1}{bpuv}+\frac{1}{abu}+\frac{1}{abv}}$.

J'en viens à la raison de ma question:
$p$ premier (impair) étant donné, "on a une chance sur $p$ de tomber sur un $q$ tel que $4q=1$ modulo $p$" . Autrement dit, on a une chance sur $p$ que la fraction $\displaystyle {\frac {4q-1}{pq}}$ soit irréductible. On a donc une chance sur $p$ que l'étude du système diophantien $(u+v=ak;\ 4buv=kp+1)$ ait lieu d'être. Aussi s'attend t'on à ce que nombreux soient les $p$ tels qu'il n'ait pas de solution. Je souhaiterais en connaître quelques uns ...s'il en existe. Qu'il n'en existe qu'un nombre fini, a fortiori aucun, m'espanterait.

Amicalement et merci

Paul

Merci, Marco, quasi infiniment. Pour être précis: septcentmillement!
Elle risque donc d'être vide, ma liste. En ce cas la conjecture d'Erdös-Straus deviendrait théorème!
Mais qu'il est long le chemin entre 700000 et l'infini.
Si tu passes un jour du côté de Toulouse je trinquerai volontiers quasiment sûrement avec toi.
Bien à toi
Paul

Bonjour,

La proposition $F:=$ "Pour toute fraction irréductible et somme de deux fractions unitaires, il existe $v$ tel que son numérateur divise $v+1$ et $v$ divise son dénominateur" est fausse.

Cela dit, seules les fractions $\displaystyle{\frac{k}{\frac{kp+1}{4}}}$ où $p$ est premier congru à $1$ modulo $24$ nous occupent et il se pourrait que pour elles le $v$ de la proposition $F$ existe, auquel cas on pourrait se restreidre à $u=1$. Ma surprise que pour tout $p$ congru à $1$ modulo $24$ inférieur à $700000$ le système a une solution est décuplée par ton $u=1$! Hélas, je n'ai pas la moindre compréhension de ce fait!

Une petite participation positive tout de même à ce débat: si le système a une solution , il a une solution pour laquelle $u$ et $v$ sont étrangers: en effet on peut affiner $P_2$ en déclarant $u$ et $v$ étrangers. En théorie ça devrait simplifier la recherche.

Je continue de chercher d'autres façons de réduire le boulot !

Amicalement
Paul

Merci Marco,
mais
j'ai appris un peu d'informatique pendant un an, il y a exactement 30 ans (1987) et depuis plus rien! Aussi je suis bien mal placé pour vérifier ton programme! J'en suis sincèrement désolé.
Amicalement
Paul

Bonsoir,

Pour tout $(x,y,z)\in R^3$ (privé de ses éléments qui rendent non-défini s un des membres de l'égalité qui suit, sempiternelle maniaquerie),

$\displaystyle{\frac{z}{x}=\frac{1} {\frac{x+z}{zy-1}y-1} (1+\frac{1}{xy} )+ \frac{1}{xy}}$, si bien qu'en déplongeant dans $N^3$:

Dès qu'existe $y$ tel que $zy-1$ divise $x+z$, $\displaystyle{\frac{z}{x}}$ est la somme de trois fractions unitaires.

En particulier, vu qu'on ne s'intéresse dans ce fil (et je pense maintenant que c'est dommageable) qu'au cas où $z=4$ et $p=$$x=1 \mod 24$, premier, on a tout de même:

Pour tout $p$ premier congru à $1\mod 24$, si $p+4$ a un diviseur congru à $-1\mod 4$, alors $\frac{4}{p}$ est la somme de trois fractions unitaires. Les nombres sont méchants: nombreux (;-) ) sont les $p$ premiers congrus à $1 \mod 24$ tels que $p+4$ n'a que des diviseurs congrus à $1\mod 4$. J'ai éliminé les autres, c'est un petit plaisir, d'autres l'auraient-ils connu avant moi!

Amicalement
Paul

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