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Gamma(n) divisible par n ?

SylvainSylvain
dans Arithmétique
Bonjour,

Le théorème de Wilson établit qu'un entier $ p $ est premier si et seulement s'il divise $ 1+\Gamma(p) $ .

Si $ n $ est composé, $ n $ divise-t-il nécessairement $ \Gamma(n) $?

Réponses

  • hamziumhamzium
    $ \Gamma(4)=6 $ mais $ 4 $ ne divise pas $ 6 $.
  • gerard0gerard0
    Bizarre de poser une question sans avoir regardé les cas particuliers élémentaires.
  • FélixFélix
    Bizarre ? Courant !
    C'est (au moins) la deuxième fois aujourd'hui.
  • SylvainSylvain
    Mea culpa. J'ai seulement essayé $ n=6 $ et $ n=8 $. Est- ce vrai à partir d'un certain rang ?
  • FélixFélix
    Que dire de gamma(p) avec p premier ?
  • SylvainSylvain
    Que c'est congrus à $ -1 $ modulo $ p $ . Mais c'est le cas $ n $ composé qui m'intéresse.
  • FélixFélix
    gamma(p) n'est pas divisible par p.
    Mais gamma(p+1) est divisible par p, et toutes les valeurs suivantes également. En particulier gamma(2p).
    Comme toutes les valeurs sont paires dès gamma(3), gamma(2p) est donc divisible par 2p. Cela suffira-t-il ?
  • SylvainSylvain
    Voyons. Si $ n=\prod_{i}p_{i}^{a_{i}} $, $ \Gamma(n) $ contient comme facteurs $ p_{i}^{a_{i}-1} $ et $ p_{i} $ , distincts ssi $ a_{i}>1 $. Si $ a_{i}=1 $ et $ n $ est composé, $ n>p_{i} $ donc $ p_{i} $ divise $ \Gamma(n) $ .
  • ChaurienChaurien
    Si $n$ est un entier non premier, $n \geq 6$, alors : $(n-1)!\equiv 0 \pmod n$.

    Le théorème de Wilson peut donc s'énoncer avec sa réciproque.
    Pour $n \in \mathbb N$, $n \geq 2$, on a : $(n-1)!\equiv -1 \pmod n$ si et seulement si $n$ est premier.

    Curieux corollaire.
    Pour $n \in \mathbb N$, $n \geq 2$, soit : $\displaystyle u_{n}=\frac{1}{n}\overset{n}{\underset{h=1}{\sum }}\exp (2ih\pi \frac{(n-1)!+1}{n})$ (avec bien sûr $i^2=-1$). Alors, $u_{n}=1$ si $n$ est premier et $u_{n}=0$ sinon.

    Bonne journée ; le ciel bleu reprendrait-il ses droits ?
    Fr. Ch.
  • noix de totosnoix de totos
    @Chaurien : il y a beaucoup de conséquences de Wilson fournissant des identités plus ou moins curieuses, par exemple
    $$\pi(n) = \sum_{k=2}^n \left( \left \lfloor \frac{(k-1)!+1}{k} \right \rfloor - \left \lfloor \frac{(k-1)!}{k} \right \rfloor \right)$$
    où $\lfloor x \rfloor$ est la partie entière de $x \in \mathbb{R}$ (on voit bien l'influence de Wilson ici). Ces identités ont en commun le fait qu'elles soient esthétiques et...absolument inutiles sur le plan pratique.
  • MaxtimaxMaxtimax
    @Chaurien : Sympa comme formule explicite de l'indicatrice de l'ensemble des nombres premiers :-D
  • SylvainSylvain
    Effectivement.
  • ChaurienChaurien
    Mais croyez-en Noix de Totos, qui connaît son sujet : joli, pouvant donner un exercice de L1- Math Sup, mais sans grand intérêt pratique pour la théorie des nombres premiers.
    Dirons-nous avec Cyrano :
    « Non ! non, c'est bien plus beau lorsque c'est inutile !» ?
    À chacun d'en juger...
    Fr. Ch.
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